1 സംഖ്യകള്഼

സ്വാഭാവികസംഖ്യകളുടെ സങ്കല്഼പനമാണു് സംഖ്യക഼ളില്഼഼ ഏററവും അടിസ്ഥാനമായതു്. ഇതിനെ എണ്ണല്഼സംഖ്യകള്഼ എന്നും പറയാറുണ്ടു്. ഈ പേരു സൂചിപ്പിക്കുന്നതുപോലെ ഈ സംഖ്യകള്഼ ആധുനിക മനുഷ്യന്഼റെ അടി~ സ്ഥാന ആവശ്യങ്ങളില്഼ ഒന്നായ `എണ്ണുക' എന്ന പ്രക്രിയയില്഼ നിന്നു് #ഉത്഼ഭവി~ ച്ചതാണു്. വസ്തുക്കളെ ഒന്നിനുശേഷം മറെറാന്നു് എന്ന വിധത്തില്഼ #ക്രമപ്പെടുത്തു~ വാനുള്ളു മനുഷ്യന്഼റെ കഴിവാണു് `എണ്ണുക' എന്ന പ്രക്രിയയിലെ പ്രധാനഘടകം. ഈ `ക്രമബോധ'ത്തിന്഼റെ മൂര്഼ത്തീകൃതരൂപമാണു് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകള്഼ എന്നു പറയാം.

എല്ലാത്തരം സംഖ്യകളുടെയും അടിസ്ഥാനം സ്വാഭാവികസംഖ്യകള്഼ ആണെന്നു് പറയുന്നതുകൊണ്ടു് നാം അര്഼ഥമാക്കുന്നതു് സ്വാഭാവികസംഖ്യക~ ളില്഼നിന്നു് ചില പ്രത്യേക നിര്഼മിതികള്഼ വഴി പൂര്഼ണസംഖ്യകളും പൂര്഼ണ~ സംഖ്യകളില്഼നിന്നു് പരിമേയസംഖ്യകളും അതില്഼ നിന്നു് വാസ്തവികസംഖ്യ~ കളും നിര്഼മിക്കുന്നു എന്നാണു്. മിശ്ര സംഖ്യകള്഼ വാസ഼ത്വിക സംഖ്യകളില്഼ നിന്നാണു് സൃഷ്ടിക്കുന്നതു്. സ്വാഭാവികസംഖ്യകളെപ്പററിയുള്ള പഠനത്തെ ആധുനിക ഗണസിദ്ധാന്തത്തിന്഼റെ ഒരു ഭാഗമായിട്ടാണു് ഇപ്പോള്഼ കണക്കാക്കു~ ന്നതു്. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിലെ `അനന്തത്തിന്഼റെ ഗൃഹീത' ത്തില്഼ നിന്നാണു് സ്വാഭാവികസംഖ്യകള്഼ നിര്഼മിക്കുന്നതു്.

സ്വാഭാവികസംഖ്യകളെ ഗണസിദ്ധാന്തത്തിന്഼റെ ഭാഗമായിട്ടല്ലാതെ സ്വത~ ന്ത്രമായ ഒരു സിദ്ധാന്തമായും ചര്഼ച്ച ചെയ്യാം. ഈ രീതിയിലാണു് സ്വാഭാ~ വിക സംഖ്യകളോടുള്ള താര്഼ക്കികമായ സമീപനങ്ങള്഼ ആദ്യമായി ഉണ്ടായതു്. ഇപ്രകാരമുള്ള സമീപനങ്ങളില്഼ പ്രധാനം പിയാനോ(Peano)വിന്഼റെ സമീപ~ നമാണു്. അദ്ദേഹം സ്വീകരിച്ച ഗൃഹീതങ്ങളെ `പിയാനോഗൃഹീതം' എന്നു പറ~ യുന്നു. ഈ തത്വങ്ങള്഼ സ്വാഭാവികസംഖ്യകളുടെ സഹജാവബോധത്തിനു് -2- വ്യക്തമായ ചില സ്വാഭാവിശേഷങ്ങളെപ്പററിയുള്ള പ്രസ്താവനകളാണു് നമ്മുടെ ക്രമബോധത്തിന്഼റെ ഗണിതവല്഼ക്കരണമാണു് ഇതു് എന്നു പറയാം. പിയാനോ ഗൃഹീതങ്ങളുടെ ഒരു ആധുനിക രൂപമാണു ഇവിടെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ നിര്഼വചനത്തിനു് സ്വീകരിക്കുന്നതും. ഇതു് ഗണിദ്ധാന്ത~ ത്തിലെ മററു സംകല്഼പനങ്ങളില്഼ അധിഷ്ഠിതമാണു്.

N, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണു് എന്നിരിക്കട്ടെ. o ഉം N ലെ അംഗമാണെന്നു് സങ്കല്പിക്കാം. അതായതു്.

എണ്ണാല്഼ സംഖ്യയായി പൂജ്യത്തെ കണക്കാക്കാന്഼ ചില വൈഷമ്യങ്ങള്഼ ഉണ്ടെങ്കിലും അടുത്ത അധ്യായത്തില്഼ നിര്഼വചിക്കുന്ന `കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ~ കള്഼' എന്ന സങ്കല്പനവും സ്വാഭാവികസംഖ്യകളും തമ്മിലുള്ള സാമ്യം കൂടുതല്഼ വ്യക്തമാക്കാന്഼ സാധിക്കുമെന്നതുകൊണ്ടു o ഉം ഒരു സ്വാഭാവികസംഖ്യ~ യായി എടുക്കാം.

n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ആണെങ്കില്഼ n+1നെ n ന്഼റെ പിന്഼ഗാമി~ യാണെന്നു പറയാം. അപ്പോള്഼ N ലെ ഓരോ അംഗത്തിനും അദ്വിതീയമായ ഒരു പിന്഼ഗാമി ഉണ്ടെന്നും പൂജ്യം N ലെ ഒരു സംഖ്യയുടേയും പിന്഼ഗാമിയ~ ല്ലെന്നും വ്യക്തം. അതുകൊണ്ടു് s N ഇല്഼ നിന്ന് N ലേക്കുള്ളതും എങ്കില്഼ s(n)=n+1 എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്നതുമായ ഒരു ഫലന~ മാണെങ്കില്഼ s, ഏകൈകമായിരിക്കും. അതുപോലെ o=s(n) എന്നതു ശരിയാവുന്ന ഒരു n ഉം N ഇല്഼ ഉണ്ടായിരിക്കുകയുമില്ല. ഈ ഫലനത്തെ N #ന്഼റെ പിന്഼ഗാമി ഫലനമെന്നു പറയാം. n= N എങ്കില്഼ s(s (n)=s (n) നെ n ന്഼റെ2-ാം പിന്഼ഗാമി എന്നു പറയാം. ഇതുപോലെ഼തന്നെ നെ, n ന്഼റെ 3-ാം പിന്഼ഗാമി എന്നും സാമാന്യമായി s (n) (s ന്഼റെ r പ്രാവശ്യമുള്ള ആവര്഼ത്തകം) നെ n ന്഼റെ r- ാം പിന്഼ഗാമി എന്നും പറയുന്നു. n ന്഼റെ എല്ലാ പിന്഼ഗാമികളുടെയും ഗണത്തിന്഼റെയും (n) ന്഼റെയും സമ്മി~ ളനം n ന്഼റെ `വംശം' ആണു്. ഈ ഭാഷ ഉപയോഗിച്ചാല്഼ N ലെ എല്ലാ അംഗ~ ങ്ങളും o വംശത്തില്഼ പെടുന്നു എന്നു പറയാം. അതായതു്. o ഓട് ആവശ്യമു~ ള്ളിടത്തോളം തവണ ഒന്നു ചേര്഼ത്താല്഼ ഏതു സംഖ്യയും കിട്ടുന്നതാണു്. ഇപ്ര~ കാരം ഒന്നുകള്഼ ചേര്഼ക്കേണ്ട തവണകള്഼ ഏതു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും സാന്തമായിരിക്കും (വാസ്തവത്തില്഼ n- തവണ.) M,s (M) C M എന്ന നിബന്ധന (അല്ലെങ്കില്഼ തത്തുല്യമായ n M s(n) M, എന്നതു്) അനുസരിക്കുന്ന N ന്഼റെ ഉപഗണമാണു് എങ്കില്഼ M ഒരു ആഗമനികഗണ~ മാണു് എന്നു പറയുന്നു. എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും വംശങ്ങള്഼ ആഗമി~കങ്ങളാണു്. കാരണം n N -10- 10. ഈ പ്രമേയം തെളിയിക്കുന്നതു് സ്വാഭാവികസംഖ്യാവ്യൂഹങ്ങള്഼ `ഫല~ ത്തില്഼'അദ്വിതീയമാണു് എന്നാണു്. കാരണം, തന്നിരിക്കുന്ന രണ്ടു വ്യൂഹ~ ങ്ങള്഼ തമ്മിലുള്ള ഉഭയക്ഷേപം കൊണ്ടു് ഇവയില്഼ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിനെ #പററി~ യുള്ള േതു പ്രമേയവും മറേറതിനും ബാധകമാണെന്നു് കാണിക്കാം. അതു~ പോലെ തന്നെ ഈ ഉഭയക്ഷേപത്തില്഼ സംഗതമായ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ പിന്഼~ ഗാമികളും സംഗതമായിരിക്കും. മാത്രമല്ല, ആദ്യത്തേതിലെ രണ്ടു സംഖ്യകള്഼ എപ്രകാരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവോ അപ്രകാരം തന്നെ ഈ സംഖ്യകള്഼ക്കു സംഗ഼ിത഼മായ രണ്ടാമത്തേതിലെ സംഖ്യകളും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കും. അതായതു് രണ്ടു സ്വാഭാവികസംഖ്യാവ്യൂഹങ്ങള്഼ തമ്മില്഼ അവയുടെ നാമത്തിലോ സംജ്ഞതാ രീതിയിലോ മാത്രമേ വ്യത്യാസമുണ്ടാവുകയുള്ളു; മററുവിധത്തില്഼ എല്ലാ അവ~ സമാനമാണു്. ഇതാണു് സ്വാഭാവികസംഖ്യാവ്യൂഹങ്ങള്഼ `ഫലത്തില്഼ അദ്വി~ തീയ'മാണു് എന്നു പറയുന്നതിന്഼റെ താല്പര്യം. നമ്മുടെ ക്രമബോധത്തില്഼ #നിന്നു് സ്വാഭാവികമായി ഉടലെടുക്കുന്ന സംഖ്യകള്഼ ഒരു സ്വാഭാവികസംഖ്യാവ്യൂ~ ഹത്തെ സൃഷ്ടിക്കുന്നു എന്നു നാം കണ്ടുവല്ലോ. അതുകൊണ്ടു് `ഫലത്തില്഼' ഈ സംഖ്യകള്഼ തന്നെയാണു് ഗൃഹീതങ്ങള്഼ വഴി നിര്഼വഹിച്ചതു്.

തുടര്഼ന്നുള്ള ഭാഗങ്ങളില്഼ ഏതെങ്കിലും ഒരു സ്വാഭാവികസംഖ്യാ~ വ്യൂഹമാണെന്നു മാത്രം സങ്കല്പിക്കുന്നു. `N സ്വാഭാവികസംഖ്യാഗണമാണു്' എന്നതുകൊണ്ടു് N മേല്഼ പറഞ്ഞ വ്യൂഹത്തിലെ ഗണമാണെന്നാണു് ധരിക്കേ~ ണ്ടതു്. അതുപോലെതന്നെ o ഈ വ്യൂഹത്തിലെ പൂജ്യമാണെന്നും s ഇതിന്഼റെ പിന്഼ഗാമിഫലനം ആണെന്നും മനസ്സിലാക്കണം. സാധാരണ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതിയില്഼. ഇതിലെ അംഗങ്ങളെ 0,1,2,...എന്നീ സംഖ്യകള്഼കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാം. 1.2. സങ്കലനവും ഗുണനവും

1. പ്രമേയം: N സ്വാഭാവികസംഖ്യാഗണം ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്഼ NxN ല്഼ നിന്നു് N ലേക്കു് ഒരു അദ്വിതീയഫലനം ഉണ്ടായിരിക്കും. എപ്ര~ കാരമെന്നാല്഼ -11- 2. പ്രമേയം 1: നിര്഼വചിക്കുന്ന ഫലനം o,N ഇലെ ഒരു സംക്രിയയാ~ ണല്ലോ ഇതാണു് സ്വാഭാവികസംഖ്യകളിലെ സങ്കലനം. അതുകൊണ്ടു് സങ്കല~ -12- നത്തിനു് സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചിഹ്നം തന്നെ ഇവിടെ ഉപയോഗി~ ക്കാം. അതായതു്, ഇനി (m.n) എന്നതിനു പകരം m +n)എന്നു് എഴുതാം. -31- പ്രമേയം 2 ന്഼റെ അടിസ്ഥാനത്തില്഼, N N ഇലെ സഹപ്രമേയം 1 ലും 2 ലും നിര്഼വചിക്കുന്ന പ്രമേയങ്ങള്഼ക്കു് അനുസരിച്ചു് N N/p #ഇല്഼ രണ്ടു സംക്രിയകള്഼ നിര്഼വചിക്കാം എന്നും ഈ ക്രിയകള്഼ ക്രമവിനിമേയവും സഹചാരിയും ആണെന്നും അനുമാനിക്കാം. ഈ ക്രിയകളില്഼ N ഼ഡ ഇലെ ക്രി `+'നു് സംഗതമായി I ഇലുള്ളതിനെ I ഇലെ സങ്കലനം എന്നും `.' ഇനു സംഗതമായ ക്രിയയെ I ഇലെ ഗുണനക്രിയ എന്നും പറയുന്നു. സങ്കലനത്തിനു് + ചിഹ്നവും ഗുണത്തിനു് `.' എന്നതും തന്നെ ഉപയോഗിക്കാം. C (o,o) (1,0) ഗുണനത്തിന്഼റെ തല്഼സമകഅംഗം ആണ഼ു് എന്നും പ്രമേയം 2 ഇല്഼ നിന്നു കിട്ടുന്നു.

I യുടെ ബീജിയ വ്യൂഹത്തെ പൂര്഼ണമായി വിശകലനം ചെയ്യുവാന്഼ താഴെ കൊടുക്കുന്ന നിര്഼വചനങ്ങള്഼ സഹായിക്കും.

നിര്഼വചനം 2: X ഒരു ഗണവും,o അതിലെ ഒരു സാഹചര്യസംക്രി~ യയും ആണെങ്കില്഼ ക്രമിതജോഡി യെ അര്഼ധഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയുന്നു. -32- ഒരു അര്഼ധഗ്രൂപ്പിലെ ക്രിയ ക്രമവിനിമേയമാണെങ്കില്഼ അതിനെ ക്രമവിനി~ മേയ അര്഼ധഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയുന്നു.

നിര്഼വചനം 3: ഒരു അര്഼ധഗ്രൂപ്പ് G യില്഼ തല്഼സമകഅംഗം C ഉണ്ടു് എന്നും G യിലെ ഒാരോ ഼ നും

എന്ന നിബന്ധന അനുസരിക്കത്തക്കവിധം ഒരു ',G യില്഼ ഉണ്ടു് എന്നും എങ്കില്഼ GxC ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആയിരിക്കും.

G എങ്കില്഼ മേല്഼ വിവരിച്ച സമിക അനുസരിക്കുന് അംഗം 'നെ G യിലെ ഼ ന്഼റെ പ്രതിലോമഅംഗം എന്നു പറയുന്നു. ഒരു ഗൂപ്പിലെ പ്രതി~ ലോമാംഗം എപ്പോഴും അദ്വിതിയമായിരിക്കും. ഒരു അര്഼ധഗ്രൂപ്പില്഼ തല്഼സമക അംഗം ഉണ്ടായിരിക്കുകയും, അതിലെ ഓരോ അംഗത്തിനും ഒരു അദ്വിതീയ പ്രതീലോമഅംഗം ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്താല്഼ ആ അര്഼ധഗൂപ്പ് ഗ്രൂപ്പായി~ രിക്കും. ഒരു ഗൂപ്പ് G യിലെ സംക്രിയ ക്രമവിനിമേയമാണെങ്കില്഼ അതിനെ ക്രമവിനിമേയഗ്രൂപ്പ് എന്നോ ആബല്഼ഗ്രൂപ്പ്' എന്നോ വിളിക്കുന്നു. ഒരു ആബല്഼ഗ്രൂപ്പിലെ സംക്രിയയെ +എന്നും തല്഼സമകഅംഗത്തെ o എന്നും എഴു~ താറുണ്ടു്. ഇപ്രകാരം എഴുതുന്പോള്഼ ഗ്രൂപ്പിനെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പ് എന്നു #പറയും. ഒരു സങ്കലനഗ്രൂപ്പിന് G യിലെ ഒരു അംഗം ഼ ന്഼റെ പ്രതിലോമത്തെ - എന്നു് എഴുതുന്നു. ഗ്രൂപ്പിലെ സംക്രിയയ്ക്കു് ഗുണചിഹ്നമോ മററു് ഏതെങ്കിലും ചിഹ്നമോ ഉപയോഗിക്കുന്പോള്഼ തല്഼സമക അംഗത്തെ c,1,...സംജ്ഞകള്഼ കൊണ്ടും ന്഼റെ പ്രതിലോമത്തെ -1 കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നിര്഼വചനം:4 R ഒരു ഗണവും + ഇവ R ഇലെ രണ്ടു സംക്രിയകളും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. ഇവയ്ക്കു് (1) (R,+)ഒരു സങ്കലനഗ്രൂപ്പ് ആയിരിക്കുക, (2) (R, .)ഒരു അര്഼ധഗ്രൂപ്പ് ആയിരിക്കുക, (3) സംക്രിയ, സംക്രിയ + മേല്഼ വിതരണീയം ആയിരിക്കുക എന്നീ ഗുണ~ ങ്ങള്഼ ഉണ്ടെങ്കില്഼ ക്രമിതത്രികം (R,+.) ഒരു വലയം ആണു് എന്നു #പറൟുന്നു.

വലയം (R,+,.) ഇലെ അര്഼ധഗ്രൂപ്പ് (R,.) നു് തല്഼സമകഅംഗം ഉണ്ടെ~ ങ്കില്഼ അതിനെ വലയത്തിന്഼റെ തല്഼സമകഅംഗം ആണു് എന്നും ആ സന്ദര്഼ഭ~ ത്തില്഼ (R,+,.) തല്഼സമകഅംഗത്തോടുകൂടിയ വലയം ആണു് എന്നും പറ~ യുന്നു (R,+,.)ഇലെ സംക്രിയകള്഼ +,. ഇവയെ വലയത്തിലെ സങ്ക~ ലനം, ഗുണനം എന്നീ പേരുകള്഼ കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കലനത്തിന്഼റെ തല്഼സമകഅംഗ഼ത്തെ വലയത്തിലെ പൂജ്യം എന്നും പറയുന്നു.

ഒരു വലയത്തിന്഼റെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പു് (R,+)എപ്പോഴും (നിര്഼വചനം കൊണ്ടു തന്നെ) ക്രമവിനിമേയം ആയിരിക്കുമല്ലോ. എന്നാല്഼ ഗുണനഅര്഼ധ~ -33- ഗ്രൂപ്പ് (R,.)ക്രമവിനിമേയം ആവണമെന്നില്ല. ഇതു് ക്രമവിനിമേയം ആയി~ രിക്കുന്ന സന്ദര്഼ങ്ങളില്഼ വലയത്തെ ക്രമവിനമേയവലയം എന്നു പറയുന്നു വല~ യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്പോള്഼ സൌകര്യത്തിനു് (R,+,.) എന്നതിനുപകരം R എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം.

ഒരു വലയത്തിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത അംഗങ്ങളുടെ ഗുണിതം എപ്പോഴും പൂജ്യമ~ ല്ലാതിരിക്കുമെങ്കില്഼ അപ്രകാരമുള്ള വലയങ്ങളെ പൂര്഼ണഅംഗീകഡൊമെയ്ന്഼ എന്നു പറയുന്നു. അതായതു് വലയം R ഈ നിബന്ധന: -44- ഈ പ്രമേയം കൊണ്ടു് പൂര്഼ണസംഖ്യാഗണം `ഫലത്തില്഼' അദ്വിതീയം ആണെന്നു വരുന്നു. അതായതു് പ്രമേയം 14 ലെ നിബന്ധന പാലിക്കുന്ന ഏതു് ആര്഼ക്കമിഡിയന്഼ ക്രമിതപൂര്഼ണ അംഗീയഡൊമെയ്നും I യോട് തത്തു~ ല്യസമരൂപം ആയതിനാല്഼ I യെ ഇപ്രകാരമുള്ള ആര്഼ക്കിമിഡീയന്഼ ക്രമിത പൂര്഼ണഅംഗീയ ഡൊമെയ്നുകളില്഼ നിന്നു് വേര്഼തിരിക്കാന്഼ സാധ്യമല്ല മറെറാരുവിധത്തില്഼ പറഞ്ഞാല്഼, പൂര്഼ണസംഖ്യാഗണത്തെ ഇപ്രകാരമുള്ള ഒരു ആര്഼ക്കിമിഡിയന്഼ ക്രമിതപൂര്഼ണഅംഗീയ ഡൊമെയ്ന്഼ (ക്രമവിനിമേയവും തല്഼സമകഅംഗത്തോടുകൂടിയതും) ആയി നിര്഼വചിച്ച പൂര്഼ണസംഖ്യാ ഗണത്തിന്഼റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഉണ്ടായിരിക്ും എന്നതുകൊണ്ടു് ഈ രണ്ടു ഗണങ്ങളിലെ സംഗതഅംഗങ്ങള്഼ ത഼മ്മില്഼ അഭിന്നപ്പെടുത്താം എന്നതാണു് പൂര്഼ണസംഖ്യാഗണം `ഫലത്തില്഼' അദ്വിതീയമാണു് എന്നതുകൊണ്ടു് നാം അര്഼ഥമാക്കുന്നതു്.

R ഒരു ക്രമിതപൂര്഼ണഅംഗീയ ഡൊമെയ്ന്഼ ആണെങ്കില്഼ R ന്഼റെ അനൃണ അംഗങ്ങളില്഼ പൂജ്യം അല്ലാത്തവയെ ധനഅംഗങ്ങള്഼ എന്നു പറയാം. R+ R ലെ ധനഅംഗങ്ങള്഼ ആണെങ്കില്഼ -45- എങ്കില്഼ R- നെ R ലെ ഋണഅംഗങ്ങള്഼ എന്നു പറയാം. മാത്രമല്ല.

പ്രമേയം 14 നെ താഴെ പറയും പോലെയും പ്രതിപാദിക്കാം. ഇതിന്഼റെ ഉപപത്തി വായനക്കാര്഼ക്കു തന്നെ എഴുതാവുന്നതാണു്.

പ്രമേയം: 15 R ഒരു ആര്഼ക്കിമിഡിയന്഼ ക്രമിതപൂര്഼ണഅംഗീയ ഡൊമെ~ യ്ന്഼ ആണു് എന്നിരിക്കട്ടെ. R+നു് ന്യൂനതമ അംഗം ഉണ്ടെങ്കില്഼ R ഉം I ഉം തത്തുല്യസമരൂപങ്ങള്഼ ആയിരിക്കും.

പരിമേയസംഖ്യകള്഼

സ്വാഭാവികസംഖ്യകളില്഼ നിന്നു് പൂര്഼ണസംഖ്യകള്഼ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതു് എങ്ങനെ എങ്ങനെ എന്നു് 1.4 ല്഼ വിവരിച്ചു കഴിഞ്ഞു. മാത്രമല്ല, #പൂര്഼ണ സംഖ്യാഗണം I ലെ ഉപഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി സ്വാഭാവികസംഖ്യാ~ ഗണം N ലെ അംഗങ്ങളെ താദാത്മീകരിക്കാം എന്നും അപ്രകാരം അംഗങ്ങളെ തംദാത്മീകരിക്കുന്പോള്഼ N ലെ സംഖ്യകളുടെ തുകയും ഗുണിതവും, അവയ്ക്കു സംഗതമായി I യിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയോടും ഗുണിതത്തോടും സംഗതം ആയിരിക്കുമെന്നും, ഈ സാംഗത്യം ക്രമത്തെ നിലനിര്഼ത്തുമെന്നും കണ്ടു. അതാ~ യതു്, N ലെ അംഗങ്ങളെ I ലേതുമായി താദാത്മീകരിച്ചു് N നെ I യുടെ ഉപ~ ഗണ഼മ഼ായി കണക്കാക്കാം. ഈ നിലയ്ക്കു് I, N, ന്഼റെ ഒരു വ്യാപനം ആയി കണക്കാക്കാം. ഇവിടെ ഗണം I എന്നതു കൊണ്ടു് എന്ന വ്യൂഹവും N. എന്നതുകൊണ്ടു് I<N,+, .,<> എന്ന വ്യൂഹവും ആണു് സൂചിപ്പിക്കുന്നതു്.

ഇതുപോലെ I യെ ഒരു പ്രത്യേക നിര്഼മിതി വഴി വ്യാപിപ്പിക്കുന്പോള്഼ പരിമേയസംഖ്യാഗണം Q സിദ്ധിക്കുന്നു. ഈ നിര്഼മിതി വിവരിക്കുകയും പരിമേയ സംഖ്യാഗണത്തെ മററു വിധത്തില്഼ ലക്ഷണപ്പെടുത്തുകയും ആണു് ഇവിടെ ചെയ്യുന്നതു്

നിര്഼വചനം !: ഒരു ക്രമവിനിമേയ വലയത്തിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത അംഗങ്ങ~ ളുടെ ഗണം, വലയത്തിലെ ഗുണനക്രിയയിലെ ഒരു ഗൂപ്പ് ആണെങ്കില്഼, അപ്രകാരമുള്ള വലയങ്ങളെ ക്ഷേത്രങ്ങള്഼ എന്നു üപറയുന്നു.

ക്ഷേത്രത്തിന്഼റെ നിര്഼വചനത്തില്഼ നിന്നു് a,b ഇവ ഒരു ക്ഷേത്രത്തിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത അംഗങ്ങള്഼ ആണെങ്കില്഼ ab യും പൂജ്യമായിരിക്കുകയില്ല #എന്നു കാണാം. അതായതു് ഒരു ക്ഷേത്രം എപ്പോഴും ഒരു പൂര്഼ണഅംഗീയ ഡൊമെ~ യ്ന്഼ ആയിരിക്കും. അതുപോലെതന്നെ, ഒരു ക്ഷേത്രത്തിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത അംഗങ്ങള്഼ ഒരു ഗ്രൂപ്പു് ആണു് എന്നതു കൊണ്ടു് അവയ്ക്കു്഼ഒരു തല്഼സമക അംഗം ആണു്. ഇതില്഼ നിന്നു് ഒരു ക്ഷേത്രം എപ്പോഴും ക്രമവിനിമേയവും -46- തല്഼സമകഅംഗത്തോടു കൂടിയതും ആയ പൂര്഼ണഅംഗീയ ഡൊമെയ്ന്഼ ആയിരിക്കും.

ഒരു ക്ഷേത്രം F. പൂര്഼ണഅംഗീയഡൊമെയ്ന്഼ എന്നനിലയ്ക്കു് ക്രമിത ആണെ~ ങ്കില്഼ (രേഖീയക്രമിതം) F ഒരു (േരഖീയ) ക്രമിത ക്ഷേത്രമാണു് എന്നു പറ~ യുന്നു. അതുപോലെതന്നെ F പൂര്഼ണഅംഗീയഡൊമെയ്ന്഼ എന്ന നിലയ്ക്കു് ആര്഼ക്കിമിഡിയ ക്രമിതം ആണെങ്കില്഼ F ഒരു ആര്഼ക്കിമിഡിയന്഼ ക്രമിത ക്ഷേത്രമാണു് എന്നു പറയുന്നു. -76- F ഒരു ആര്഼ക്കിമിഡിയക്ഷേത്രം ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. F ലെ ഓരോ ലേക്കും അഭിസരിക്കുന്ന ഒരു b- ാംശ അനുക്രമം (sn) ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നു് #മുന്഼ പ്രമേയം തെളിയിക്കുന്നു. ഈ അനുക്രമം ഉചിതം ആണെങ്കില്഼ അതു് അദ്വി~ തീയം ആണെന്നും, ഉചിതം അല്ലെങ്കില്഼ (Sn) സാന്തമോ, അല്ലെങ്കില്഼ (Sn) നോടു സമാന്തരമായ ഒരു സാന്തഅനുക്രമമോ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നു് മ഼ുന്഼പ്രമേയം തെളിയിക്കുന്നു.അപ്പോള്഼, അനുചിത ഉപഅനുക്രമങ്ങളെ കണക്കിലെടുക്കുന്നി~ ല്ലെങ്കില്഼ (അതതായതു് (Sn) അനുചിത അനന്ത അനുക്രമം ആയിരിക്കുന്പോഴെല്ലാം അതിനോടു സമാന്തരമായ സാന്ത അനുക്രമത്തെക്കൊണ്ടു പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമെ~ ങ്കില്഼) F nz എല്ലാ X ലേക്കും അഭിസരിക്കുന്ന ഒരു അദ്വിതീയ b- ാഁംശ #ഉചിത അനുക്രമമോ സാന്തഅനുക്രമമോ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നു പറയാം. -78- എന്നു് ഈ സംഖ്യകളെ അടുത്തടുത്തു് എഴുതി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇവിടെ എന്നതു് ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതം അല്ലെന്നും മേല്഼കൊടുത്ത ബഹുപദത്തെ സൌകര്യപൂര്഼വം ചുരുക്കി എഴുതുന്നതുമാത്രമാണു് എന്നും #ഓര്഼മി~ ക്കുക. ഇപ്രകാരം എഴുതുന്പോള്഼ n നെ b- ാംശ പൂര്഼ണസംഖ്യയായി സൂചിപ്പി~ ക്കുന്നു എന്നു പറയാം.

നിര്഼വചനം4 ഒരു ആര്഼ക്കിമിഡിയക്ഷേത്രത്തിലെ എല്ലാ കോഷി അനു~ ക്രമങ്ങളും അതിലെതന്നെ ഒരു ഁഅംഗത്തിലേക്കു് അഭിസരിക്കുന്നു എങ്കില്഼ അതിനെ പൂര്഼ണക്ഷേത്രം എന്നു പറയുന്നു. ഒരു ക്ഷേത്രം F മറെറാരു പൂര്഼ണ ക്ഷേത്രം F ന്഼റെ ഉപക്ഷേത്രത്തോടു് സമരൂപം ആണെന്നും F ലെ എല്ലാ അംഗ~ ങ്ങളും F ലെ കോഷി അനുക്രമങ്ങളുടെ സീമകള്഼ ആണു് എന്നും #സങ്കില്പിക്കുക. ഈ സന്ദര്഼ഭത്തില്഼ ക്ഷേത്രം F ന്഼റെ പരിപൂര്഼ത്തി ആണു് F #എന്നു പറയുന്നു. -79- പ്രമേയം 9: F ഒരു ആര്഼ക്കിമിഡിയക്ഷേത്രം ആണു് എന്നിരിക്കട്ടെ. F ഇലെ കോഷി അനുക്രമങ്ങളുടെ തുല്യതാക്ലാസ്സുകള്഼ സൃഷ്ടിക്കുന്ന ക്ഷേത്രം F. F ന്഼റെ പരിപൂര്഼ത്തിയാണു് Q പരിമേയസംഖ്യാക്ഷേത്രം Q ന്഼റെ പരി~ പൂര്഼ത്തി ആണെങ്കില്഼ Q ഉം F ഉം തത്തുല്യസമരൂപങ്ങള്഼ ആയിരിക്കും. #അതു കൊണ്ടു് ആര്഼ക്കിമിഡിയ ക്ഷേത്രങ്ങളുടെ പരിപൂര്഼ത്തികള്഼ തത്തുല്യസമരൂപി~ കള്഼ ആയിരിക്കും. -80- ഇതില്഼ നിന്നു് അവസാനത്തെ പ്രസ്താവനയും വ്യക്തമാകുനനു. കാരണം എല്ലാ ആര്഼ക്കീമിഡിയവും പൂര്഼ണവും ആയ ക്ഷേത്രങ്ങളും Q ഉമായി തത്തുല്യ രൂപമാണു് എന്നു തെളിയിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടു് അവയും സമരൂപികള്഼ ആയിരിക്കും.

നിര്഼വചനം: 5 ഒരു പൂര്഼ണ ആര്഼ക്കിമിഡിയക്ഷേത്രത്തെ വാസ്തവികസംഖ്യാ~ ക്ഷേത്രം എന്നു പറയുന്നു. R ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യാക്ഷേത്രം ആണെങ്കില്഼ R ഇലെ അംഗങ്ങളെ വാസ്തവികസംഖ്യകള്഼് എന്നു പറയുന്നു.

മുന്഼പ്രമേയത്തില്഼ നിന്നു് വാസ്തവികസംഖ്യാക്ഷേത്രം `ഫലത്തില്഼' അദ്വി~ തീയമാണു് എന്നു് കിട്ടുന്നു. ഈ അദ്വിതീയ ക്ഷേത്രത്തെയാണു് R സൂചിപ്പി~ ക്കുന്നതെന്നു സങ്കല്പിക്കാം. ഏതു ആര്഼ക്കിമിഡിയക്ഷേത്രവും അതിന്഼റെ പരി~ പൂര്഼ത്തിയുടെ ഉപഗണം ആണെന്നും ഈ പരിപൂര്഼ത്തി `ഫലത്തില്഼' R തന്നെയാ~ ണെന്നും തെളിയിച്ചിട്ടുള്ള സ്ഥിതിക്കു്, ഏതു് ആര്഼ക്കമിഡിയക്ഷേത്രവും R #ന്഼റെ ഉപക്ഷേത്രമായി കരുതാം. Q ഇന്഼റെ പരിപൂര്഼ത്തിയാണു് R എന്നതു കൊണ്ടു് സംഖ്യാഗണങ്ങള്഼ N, I, Q, R ഇവ തമ്മില്഼ താഴെ പറയുന്ന ബന്ധമാണു് ഉള്ളതു്.

മുന്഼പ്രമേയത്തില്഼ നിന്നു് R ലെ ഏതു അംഗത്തെയും അദ്വിതീയമായി ഒരു b- ാം സംഖ്യകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാമെന്നു കിട്ടുന്നു. ഇന എപ്പോഴും ഉചിതമോ സാന്തമോ ആയി എടുക്കാം. എന്നാല്഼ ഏതു b- ാംശ സംഖ്യൟും Q വിലെ ഒരു കോഷി അനുക്രമത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് ഏതു b- ാംശസംഖ്യയും R ലെ ഒരു അംഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇവിടെ b,> 1ആയ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണു്. b=2,10 എന്നീ സന്ദര്഼ഭങ്ങളാണു് പ്രധാനം b=2ഇലെ ഈ സൂചനാരീതിയെ ദ്വയാംശസംഖ്യകളെക്കൊണ്ടുള്ള സൂചനാ -81- രീതി എന്നും, b=10 എങ്കില്഼ ദശാംശസംഖ്യകള്഼ കൊണ്ടുള്ള സൂചനാരീതി എന്നും പറയുന്നു.

പരിമേയസംഖ്യകളില്഼ നിന്നു് വാസ്തവികസംഖ്യകളെ നിര്഼മിക്കുവാന്഼ നാം ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ച രീതിക്കു പുറമേ മററു ചില രീതികളും ഉപയോഗിക്കാ~ റുണ്ടു്. ഇവയില്഼ പ്രധാനം ഡെഡികന്഼ഡ് ആദ്യമായി വാസ്തവികസംഖ്യ~ കളെ ജ്യാമിതീയസങ്കല്഼പനങ്ങളില്഼ നിന്നു സ്വതന്ത്രമായി നിര്഼മിക്കുവാന്഼ ഉപയോഗിച്ച രീതിയാണു്. എന്നാല്഼ ആധുനിക ടോപ്പോളജിയിലെ അതി~ പ്രധാനമായ ഒരു നിര്഼മിതിയുടെ ദൃഷ്ടാന്തമാണു് നാം ഉപയോഗിച്ച രീതി. അതുകൊണ്ടു ഈ രീതി R ന്഼റെ ടോപ്പോളജീയ ഘടനയ്ക്കു് മററ് ബീജിയവും ക്രമത്തെ സംബന്ധിക്കുന്നതുമായ ഘടനകളോടുള്ള ബന്ധത്തെ കൂടുതല്഼ വ്യക്ത മാക്കുന്നതുകൊണ്ടാണു് ഈ രീതി നാം സ്വീകരിച്ചിരിക്കുന്നതു്.

ഡെഡിക്കന്഼ഡ് ഉപയോഗിച്ച രീതി സാധാരണ ഏതു വിശ്ലേഷണത്തെ ക്കുറിച്ചുള്ള പുസ്തകങ്ങളിലും ലഭ്യമാണു് എന്നതുകൊണ്ടു് ഈ നിര്഼മിതിയുടെ വിശദാംശങ്ങള്഼ ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നില്ല. എന്നാല്഼ ഈ നിര്഼മിതിയില്഼ R #ന്഼റെ അതിപ്രധാനമായ ഒരു ഗുണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുണ്ടു്. ഇതും R ന്഼റെ മററു ഗുണ~ങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധത്തെ വ്യക്തമാക്കുന്നതാണു് അടുത്ത പ്രമേയം

പ്രമേയം: 10 F ഒരു രേഖീയ ക്രമിതക്ഷേത്രം ആണു് എന്നിരിക്കട്ടെ. F ഇലെ എല്ലാ ഉപരി പരിബദ്ധ ഉപഗണങ്ങള്഼ക്കും ന്യൂനതമ ഉപരി പരി~ ബദ്ധം (ന്യൂ.ഉ.പ) ഉണ്ടെങ്കില്഼, എങ്കില്഼ മാത്രം F ഇലെ എല്ലാ #നിമ്നപരി~ ബന്ധഉപഗണങ്ങള്഼ക്കും മഹത്തമനിമ്നപരിബദ്ധം ഉണ്ടായിരിക്കും: F, പ്രസ്തുത നിബന്ധനകള്഼ അനുസരിക്കും എങ്കില്഼ എങ്കില്഼ മാത്രം ആര്഼ക്കമിഡിയക്രമി~ തവും പൂര്഼ണവും ആയിരിക്കും.

ഉപപത്തി (1) F ലെ എല്ലാ ഉപരിബദ്ധ ഉപഗണങ്ങള്഼ക്കും ന്യൂനതമ ഉപരിപരിബദ്ധം ഉണ്ടു് എങ്കില്഼ അതിലെ എല്ലാ നിമ്നപരിബദ്ധ ഉപഗണ~ ങ്ങള്഼ക്കും മഹത്തമ നിമ്നപരിബദ്ധം ഉണ്ടായിരിക്കും. -87- സ്വാഭാവികസംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്഼ പൂര്഼ണസംഖ്യകള്഼, പരി~ മേയസംഖ്യകള്഼, വാസ഼്തവിക സംഖ്യകള്഼ ഇവയെ ഉല്഼പാദിപ്പിക്കുന്ന വിധം നാം ചര്഼ച്ചചെയ്തു കഴിഞ്ഞു. ഈ സംഖ്യകളുടെ ചര്഼ച്ചയില്഼ ഓരോ ഘട്ട~ ത്തിലും ആ സംഖ്യകളെ അദ്വിതീയമായി ലക്ഷണപ്പെടുത്തുന്ന പ്രമേയങ്ങളും കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്. ഇവയെ, പ്രസ്തുത സംഖ്യകളെ നിര്഼വചിക്കുന്ന ഗൃഹിതങ്ങ~ളായി എടുക്കാവുന്നതാണു്.

ഏതെങ്കിലും ഗണിതീയ ഘടനയുടെ ഗൃഹീതങ്ങള്഼ക്കു്, അവ അനുസരിക്കുന്ന വസ്തുക്കള്഼ എല്ലാം തത്തുല്യസമരൂപങ്ങള്഼ ആയിരിക്കും എന്ന ഗുണം ഉണ്ടു് എങ്കില്഼, അവയെ പ്രസ്തുത ഘടനയ്ക്കുള്ള കാററഗോറിയ ഗൃഹീതങ്ങള്഼ എന്നു #പറ~ യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിനു്, പിയാനോഗൃഹീതങ്ങള്഼ സ്വാഭാവികസംഖ്യാഗണ~ ത്തിനുള്ള കാററഗോറിയ ഗൃഹീതങ്ങള്഼ ആണു്. മററു സംഖ്യകള്഼ക്കുള്ള കാററഗോ~ റിയ ഗൃഹീതങ്ങള്഼ താഴെ കൊടുക്കുന്നു. ഇവയെല്ലാം കാററഗോറിയം ആണെന്നു് അതതു സംഖ്യകളെ ലക്ഷണപ്പെടുത്തുന്ന പ്രമേയങ്ങളില്഼ നിന്നു സിദ്ധിമാക്കുന്നു പൂര്഼ണസംഖ്യാഗണം I

(1) I ക്രമവിനിമേയവും തല്഼സമക അംഗത്തോടു കൂടിയതും ആയ പൂര്഼ണ അംഗീയ ഡൊമെയ്ന്഼ ആണു്.

(2) I ആര്഼ക്കിമിഡിയക്രമിതം ആണു് (3) I ഉടെ ധന അംഗങ്ങള്഼ക്കു് ന്യൂനതമ അംഗം ഉണ്ടു്.

പരിമേയ സംഖ്യാഗണം Q (1) Q ഒരു ക്രമിതക്ഷേത്രം ആണു്. (2) Q അഭാജ്യമാണു്. -88- വാസ്തവികസംഖ്യാഗണം R

(1) R ക്രമിതക്ഷേത്രമാണു് (2) R ആര്഼ക്കമിഡിയമാണു് (3) R പൂര്഼ണമാണു്

ഈ സംഖ്യകളെ മററു ചില രീതികളിലും ലക്ഷണപ്പെടുത്താം. ഇവയില്഼ ചിലതു് നാം ഇവിടെ ചര്഼ച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ടു്. കൂടുതല്഼ വിവരങ്ങള്഼ അധിക~ വായനയ്ക്കായി കൊടുത്തിട്ടുള്ള പുസ്തകങ്ങളില്഼ കാണാം.

വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണം R ല്഼ നിന്നു് സൃഷ്ടിക്കാവുന്ന മറെറാരു സംഖ്യാ~ ഗണമാണു് സമ്മിശ്ര സംഖ്യാഗണം. ഇവയെ നിഷ്കര്഼ഷമായി ചര്഼ച്ചചെയ്യു~ വാന്഼ ക്ഷേത്രസിദ്ധാന്തത്തിലെ ചില പ്രധാന പ്രമേയങ്ങള്഼ ആവശ്യമായതി~ നാല്഼ ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നില്ല. എന്നാലും, ചുരുക്കത്തില്഼ അതിന്഼റെ #നിര്഼മാണം വിവരിക്കുകയും ഈ സംഖ്യകളുടെ ചില സവിശേഷതകള്഼ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കു~ കയും ചെയ്യാം. -89- നിര്഼വചനം 6: പ്രമേയം 11 ല്഼ സൃഷ്ടിച്ച ക്ഷേത്രത്തെ സമ്മിശ്രസംഖ്യാ~ ക്ഷേത്രം എന്നോ സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണം എന്നോ പറയുന്നു. C ഇലെ അംഗങ്ങളെ സമ്മിശ്രസംഖ്യകള്഼ എന്നു പറയുന്നു.

u,v,z മുതലായവ കൊണ്ടു് C ഇലെ അംഗങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കാം. C ഇലെ (o,1)എന്ന അംഗത്തെ 1 എന്നു് എഴുതുന്നു Z C എങ്കില്഼ ഇതിന്഼റെ സങ്കലഩപ്രതിലോമ഼ത്തെ -z എന്നും ഗുണനപ്രതിലോമത്തെ, അതു് ഉണ്ടെങ്കില്഼ z-1 എന്നും എഴുതാം.

മുന്഼ പ്രമേയത്തില്഼ നിര്഼വചിച്ച സമരൂപതകൊണ്ടു് R ഉം അതിന്഼റെ C #ഇലെ പ്രതിബിംബം T(R) ഉം താദാത്മീകരിച്ചാല്഼ R C എന്നു് എഴുതാം. അതായതു് C യിലെ (,o) പോലുള്ള ഁഅംഗങ്ങളെ എന്നു മാത്രം എഴുതുന്നു എന്നു ചുരുക്കം. ഈ ചിഹ്നത്തില്഼,

എന്ന വിധം z നെ അദ്വിതീയം ആയി സൂചിപ്പിക്കാം. ഇപ്രകാരം എഴുതു~ ന്പോള്഼ നെ z ന്഼റെ വാസ്തവിക അംശം എന്നും y യെ അതിന്഼റെ അവാസ്ത~ വിക അംശം അല്ലെങ്കില്഼ സാങ്കല്പിക അംശം എന്നും പറയുന്നു. എങ്കില്഼ എങ്കില്഼ മാത്രം z ന്഼റെ സാങ്കല്പിക അംശം പൂജ്യം ആയിരിക്കും. z ന്഼റെ വാസ്തവിക അംശമാണു് പൂജ്യം എങ്കില്഼ z നെ ശുദ്ധസാങ്കല്പിക സംഖ്യ എന്നു പറയുന്നു.

i ഒരു ശുദ്ധ സാങ്കല്഼പിക സംഖ്യ ആണു്. ഇതു് +1=0 എന്ന സമീകരണത്തിന്഼റെ ഒരു നിര്഼ധാരിതമാണു് എന്നു തെളിയിക്കാന്഼ വിഷമമില്ല. അതുപോലെതന്നെ ഈ സമീകരണത്തിന്഼റെ മറെറാരു നിര്഼ധാരിതം -i ആണു് എന്നും C യിലെ ഈ സമീകരണത്തിനു് മറെറാരു നിര്഼ധാരിതയും ഉണ്ടായിരി~ ക്കുകയില്ല എന്നും തെളിയിക്കാം.

C യുടെ മറെറാരു സവിശേഷത, ഇതിനെ ഒരു രേഖീയ ക്രമിതക്ഷേത്രം ആക്കാന്഼ സാധിക്കുകയില്ല എന്നതാണു്. കാര഼ണം, ഏതെങ്കിലും ഒരു ക്രമ~ ബന്ധം < ല്഼, C രേഖീയ ക്രമിതം ആണെങ്കില്഼ C യിലെ ഓരോ z നും z ധനമായിരിക്കണമല്ലോ. അതുപോലെ തന്നെ ഈ ക്രമത്തില്഼ രണ്ടു ധനസംഖ്യ~ കളുടെ തുക ധനമായിരിക്കും എന്നതുകൊണ്ടു പൂജ്യം ആകുകയില്ല എന്നാല്഼

ഇതു C,േരഖീയക്രമിതം ആണെന്ന സങ്കല്പം അസാധ്യം ആണെന്നു തെളിയിക്കു~ ന്നു. z=C, z=(,y); ,y R എന്നിവ സങ്കല്പിക്കുക. അപ്പോള്഼ വാസ്തവിക സംഖ്യ +y അനൃണം ആയിരിക്കുമല്ലോ. ഇതു് പൂജ്യം ആണെങ്കില്഼, എങ്കില്഼ മാത്രം z=o ഈ വാസ്തവികസംഖ്യയെ /z/എന്നു സൂചിപ്പിക്കുന്നു. /z/ നെ സമ്മിശ്രസംഖ്യ z ന്഼റെ തോതു് അല്ലെങ്കില്഼ മാപകാങ്കം എന്നു പറയുന്നു. -90- ഇതു്, C യില്഼ നിന്നു് R ലെ അനൃണസംഖ്യാഗണത്തിന്മേലുള്ള ഒരു ഫലനം ആണു്. ഇതിനു് താഴെ പറയുന്ന ഗുണങ്ങള്഼ ഉണ്ടു്.

ഈ ഫലനം ഉപയോഗിച്ചു് C ഇല്഼ കോഷി അനുക്രമങ്ങള്഼ നിര്഼വചിക്കാം. മാത്രമല്ല,C യിലെ എല്ലാ കോഷി അനുക്രമങ്ങളും അഭിസരിക്കും എന്നും അതു~ കൊണ്ടു് C ഒരു പൂര്഼ണക്ഷേത്രം ആണെന്നും തെളിയിക്കാം.

എന്ന സമീകരണത്തിനു് C ഇല്഼ നിര്഼ധാരിതം ഉണ്ടു് എന്നു കണ്ടുവല്ലോ. C ഉടെ മറെറാരു പ്രധാന ഗുണം, C ഇലെ എല്ലാ ബഹുപദസമീ~ കരണങ്ങള്഼ക്കും C ഇല്഼ തന്നെ നിര്഼ധാരിതങ്ങള്഼ ഉണ്ടു് എന്നതാണു്. ഈ #ഗുണ~ മുള്ള ക്ഷേത്രങ്ങളെ ബീജിയസംവൃതക്ഷേത്രങ്ങള്഼ എന്നു പറയുന്നു. R,C ഉടെ ഉപക്ഷേത്രം ആണല്ലോ. അതുകൊണ്ടു് C യെ R ന്഼റെ ഒരു വ്യാപനം ആയി കണക്കാക്കാം. അപ്പോള്഼ C യെ R ന്഼റെ ബീജിയസംവൃതമായ വ്യാപനമായി ലക്ഷണപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യാം.

-91- 2 കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼

2-1 കററ സ്വാഭാവികസംഖ്യാഗണം N നെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തില്഼ രണ്ടു തരത്തി~ ലുള്ള സമീപനങ്ങളാണു് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞര്഼ കൈക്കൊണ്ടിട്ടുള്ളതു്. പ്രസിദ്ധ ഇററാലിയന്഼ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പിയാനോ, ഗൃഹീതസമീപനം കൈ~ ക്കൊണ്ടപ്പോള്഼ റസ്സല്഼, ഫ്രെഗെ തുടങ്ങിയ ശാസ്ത്രജ്ഞര്഼ നിര്഼മാണപരമായ മറെറാരു സമീപനത്ത,യാണു് പിന്തുടര്഼ന്നതു്. ഈ രണ്ടു സമീപനങ്ങളെ~ ക്കുറിച്ചും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ചര്഼ച്ചയില്഼ നാം അല്പം പ്രതിപാദിക്കുക~ യുണ്ടായി. എങ്കിലും റസ്സലിന്഼റെ നിര്഼മാണപരമായ സമീപനത്തെക്കുറിച്ചു കൂറച്ചുകൂടി വിശദമായി ചിന്തിക്കുന്നതു് കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളെ മനസ്സിലാ~ ക്കുവാന്഼ നമ്മെ സഹായിക്കും.

ആദ്യമായി ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഒരു ഗണിതവസ്തുവാണെന്നു സമ്മതി~ ക്കണം. ഏതൊരു ഗണിതവസ്തുവിനെയും ഗണമായി വ്യാഖ്യാനിക്കാമെന്ന~ സ്ഥിതിക്കു്, സ്വാഭാവികസംഖ്യയെയും ഒരു ഗണമായി ചിത്രീകരിക്കാം. ഉദാഹരണമായി 2 എന്ന സ്വാഭാവികസംഖ്യയെടുക്കാം. നമുക്കു് ഒരു ചോദ്യ~ ത്തിലൂടെ ആരംഭിക്കാം. "കൃത്യം രണ്ടംഗങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണമാണു് S" എന്നു പറഞ്ഞാല്഼ നാം മനസ്സിലാക്കുന്നതെന്തു്? a b ഉം S={a,b) ഉം ആയിരി~ ക്കത്തക്ക വിധമുള്ള രണ്ടു വസ്തുക്കളാണു് a ഉം b ഉം എങ്കില്഼ മാത്രം "S #ഇല്഼ ക഼ൃത്യം രണ്ടാംഗങ്ങള്഼ ഉണ്ടെന്നു്" നാം പറയുന്നു. സത്യത്തില്഼, "കൃത്യം #രണ്ടംഗ~ ങ്ങള്഼ ഉണ്ടായിരിക്കുക" എന്ന സവിശേഷത ചില ഗണങ്ങള്഼ക്കുണ്ടു്. മററു ചിലവയ്ക്കില്ല. {സൂര്യന്഼, ചന്ദ്രന്഼} എന്ന ഗണത്തിനു "കൃത്യം #രണ്ടംഗങ്ങള്഼ ഉണ്ടു്" എന്ന സവിശേഷതയുള്ളപ്പോള്഼ {സൂര്യന്഼, ചന്ദ്രന്഼, ഭൂമി} ഗണ~ ത്തിനു് അതില്ല. -92 "ഒരു ഗണത്തില്഼ കൃത്യം രണ്ടംഗങ്ങള്഼ ഉണ്ടു്" എന്നു പറയുന്നതിലെ ആശയം വിശദമായിരിക്കെ നമുക്കു് "ദ്വിത്വ"ത്തെ -സ്വാഭാവികസംഖ്യ 2 ന്഼റെ഼സങ്കല്പനത്തെ - സാധ്യമാകുന്ന എല്ലാ "ദ്വിത്വ" ത്തിന്഼റെ #സന്ദര്഼ഭങ്ങ~ ളെയും ചേര്഼ത്തു് നിര്഼വചിക്കാം. കൃത്യം രണ്ടംഗങ്ങളുള്ള എല്ലാ #ഗണങ്ങളും ഉള്഼ക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ക്ലാസായി "ദ്വിത്വ"ത്തെ വ്യാഖ്യാനിക്കാമെന്നര്഼ഥം അതായതു്, കൃത്യം രണ്ടംഗങ്ങളുള്ള ഗണങ്ങളുടെ ക്ലാസിന്഼റെ പേരായി 2നെ സങ്കല്പിക്കാം.

ഈ ക്ലാസിനെ റസ്സലും കൂട്ടരും "കററ" എന്നാണു വിളിച്ചിരുന്നതു്. സഹജ സംഖ്യ 2നെ ഇങ്ങനെ നിര്഼വചിക്കാം.

നിര്഼വചനം 2={S/S കൃത്യം രണ്ടംഗങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണം}

M എന്ന ഗണത്തില്഼ രണ്ടാംഗങ്ങള്഼ ഉണ്ടായിരിക്കണമെങ്കില്഼ 2എന്ന ചിഹ്നം സൂചിപ്പിക്കുന്ന ക്ലാസിലെ ഒരംഗമായിരിക്കണം. M എന്നു താല്പര്യം. അതുപോലെ 3 എന്ന സ്വാഭാവികസംഖ്യ കൃത്യം മൂന്നാംഗങ്ങളുള്ള ഗണങ്ങളുടെ ക്ലാസിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു; 4 കൃത്യം നാലംഗങ്ങളുള്ള ഗണങ്ങളുടെ #ക്ലാസിനെയും

ഇപ്രകാരമാണു് റസ്സലും ഫ്രെഗെയും സ്വാഭാവികസംഖ്യകളെ ചിത്രീകരി~ ച്ചതു്. പിയാനോവിന്഼റെ ഗൃഹിതങ്ങളെല്ലാം ഇപ്രകാരം നിര്഼വചിച്ചാലും സ്വാഭാവികസംഖ്യകള്഼ക്കു് ബാധകമാവുമെന്നു് അവര്഼ തെളിയിച്ചു.

മുന്പു് സ്വാഭാവികസംഖ്യ 2 നെ പ്രാമാണിക ഗണം {0,1) ന്഼റെ പേരായി മാത്രമാണു് നാം കരുതിയതു്. ഈ പ്രാമാണിക ഗണത്തെ വേണമെങ്കില്഼ 2 സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഗണങ്ങളുടെ ക്ലാസ്സിലെ ഒരു മാതൃകാപ്രതിനിധിയായി കരുതാം. അതായതു്, പ്രാമാണിക ഗണങ്ങള്഼ എല്ലാംതന്നെ അവയിലെ അവസാനത്തെ അംഗം സൂചിപ്പിക്കുന്ന "കററ" യിലെ മാതൃകാപ്രതിനിധികള്഼ ആണെന്നു താല്഼പര്യം.

2-2 സമാംഗീയ ഗണങ്ങള്഼

നിര്഼഼വചനം ഏതെങ്കിലും രണ്ടു ഗണങ്ങള്഼ A,B തമ്മില്഼ ഉഭയക്ഷേപമുണ്ടെ~ ങ്കില്഼ അവ സമാംഗീയങ്ങളെന്നു പറയാം. A B എന്ന ചിഹ്നം (A സമാംഗം B) A,B എന്നിവ സമാംഗീയഗണങ്ങളാണെന്നു കുറിക്കുന്നു.

രണ്ടു സാന്തഗണങ്ങള്഼ സമാംഗീയങ്ങളാണെങ്കില്഼ അവയിലെ അംഗസംഖ്യ തുല്യമായിരിക്കും. എന്നാല്഼ മാത്രമേ അംഗങ്ങള്഼ തമ്മില്഼ ഏകൈക സാംഗത്യം സ്ഥാപിക്കുവാന്഼ സാധിക്കുകയുള്ളു. എന്നിങ്ങനെ അംഗങ്ങളെ യോജിപ്പി~ -93- ക്കുവാന്഼ സാധിക്കുമെന്നതിനാല്഼ ഇവ തമ്മില്഼ ഉഭയക്ഷേപമുണ്ടു് എന്നു #പറയുന്നു. ഈ ഉദാഹരണം ഒന്നുകൂടി വ്യക്തമാക്കുന്നു. (a,b,c,d) ഇലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം സാന്തമാകയാല്഼ അതു് ഒരു സാന്തഗണമാണെന്നും (1,2,3,4,) എന്ന ഗണം N={0,1,2,3,4,5,....} എന്ന സ്വാഭാവികസംഖ്യാഗണത്തിന്഼റെ ഒരു ഉപഗണമാ഼െന്നുമുള്ള കാര്യം അതുകൊണ്ടു് {a,b,c,d}ഉം {1,2,3,4) ഉം ആയുള്ള ഉഭയക്ഷേപത്തെ (സമാംഗത്വത്തെ) a1,b2,c3,d4 എന്നിങ്ങനെ അംഗങ്ങളെ കീഴ്ക്കുറി കൊടുത്തും സൂചിപ്പിക്കാം. ചുരുക്കത്തില്഼ ഒരു ഗണ~ ത്തിലെ അംഗങ്ങളെ ക്രമിതഗണമായ N ഇലെ അംഗങ്ങളെക്കൊണ്ടു് കീഴ്ക്കുറി~ കൊടുത്തു് ഒരു അനുക്രമമായി എഴുതുവാന്഼ കഴിയുമെങ്കില്഼ പ്രസ്തുതഗണം, #ക഼ീഴ്~ ക്കുറി കൊടുക്കാന്഼ ഉപയോഗിച്ച N ന്഼റെ ഉപഗണവുമായി സമാംഗീയമാ~ ണെന്നു പറയാം. ഈ വ്യാഖ്യാനം അനന്തഗണങ്ങളിലെ സമാംഗത്വം നിര്഼വ~ ചിക്കുവാന്഼ നമ്മെ സഹായിക്കും.

നിര്഼വചനം ഏതെങ്കിലും ഒരു അനന്തഗണം A ഇലെ അംഗങ്ങളെ സ്വാഭാ~ വിക സംഖ്യകള്഼ ഉപയോഗിച്ചു്

എങ്ങിനെ കീഴ്ക്കുറി കൊടുത്തു് ഒരു അനുക്രമമായി എഴുതുവാന്഼ #സാധിക്കുമെ~ ങ്കില്഼ ഗണം A ഉം ഗണം N ഉം സമാംഗങ്ങളാണെന്നു പറയാം.

2.3. കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ

രണ്ടു സാന്തഗണങ്ങള്഼ സമാംഗീയങ്ങളാണെങ്കില്഼ അവയിലെ അംഗസംഖ്യ (അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം) തുല്യമാണെന്നു നാം കണ്ടു. അതായതു്, അംഗസംഖ്യ #തുല~ മാകണമെങ്കില്഼ സമാംഗീയത ആവശ്യവും പര്യാപ്തവുമായ ഒരു നിബന്ധന~ യാണെന്നര്഼ഥം. അനന്തഗണങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്഼ അംഗസംഖ്യ എന്നു പറയുവാന്഼ നിര്഼വാഹമില്ല. അതുകൊണ്ടു് രണ്ടു് അനന്തഗണങ്ങള്഼ സമാംഗീയങ്ങളാണെ~ ങ്കില്഼ അവയുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼ തുല്യമാണെന്നു പറയാം. A ഉം N ഉം സമാംഗീയമാണെങ്കില്഼ A ഉടെ കാര്഼ഡിനല്഼഼സംഖ്യ N ന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യതന്നെയായിരിക്കുമെന്നു സാരം. സാന്തഗണങ്ങളുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ~ കള്഼ അവയുടെ അംഗസംഖ്യകള്഼ തന്നെയാകമെന്നു് അപ്പോള്഼ വ്യക്തമാണല്ലോ.

ഇപ്പോള്഼ സാന്തഗണങ്ങളുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼ എല്ലാംതന്നെ സ്വാഭാ~ വിക സംഖ്യകള്഼ ആകുന്നു എന്ന അനുമാനത്തില്഼ നാം എത്തിച്ചേരുന്നു. അതു~ കൊണ്ടു സാന്തഗണങ്ങളെ വേണമെങ്കില്഼ ഇങ്ങനെ നിര്഼വചിക്കാം.

നിര്഼വചനം ഒരു ഗണത്തിന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കില്഼ ആ ഗണം സാന്തഗണമാകുന്നു.

-94-

ഇതു സൂചിപ്പിക്കുന്നതു് അനന്തഗണങ്ങളുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ സ്വാഭാ~ വിക സംഖ്യയായിരിക്കുകയില്ല എന്നാണല്ലോ. അതിനാല്഼ അനന്ത ഗണത്തെ ഇപ്രകാരം നിര്഼വചിക്കാം.

നിര്഼വചനം ഒരു ഗണത്തിന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ~ യല്ലെങ്കില്഼ ആ ഗണം ഒരു അനന്തഗണമാകുന്നു.

ഇപ്പോള്഼ നമുക്കു രണ്ടു തരത്തിലുള്ള കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളാണു ലഭിക്കു~ ന്നതു്. ഒന്നു്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായ സാന്തഗണങ്ങളുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼, ഇവയെ നമുക്കു് സാന്ത കാര്഼ഡ഼ിനല്഼ സംഖ്യകള്഼ എന്നു വിളിക്കാം.രണ്ടു്, അനന്തരഗണങ്ങളുടെ കാര്഼ഡില്഼ സംഖ്യകള്഼ ഇവയ്ക്കു് അനന്ത കാര്഼ഡി~ നല്഼ സംഖ്യകള്഼ എന്നു് പേരിടാം. ഇത്രയും പറഞ്ഞതില്഼ നിന്നു് #കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യയെക്കുറിച്ചു് ഒരു ഏകദേശജ്ഞാനം നമുക്കു ലഭിച്ചു. എന്നാലും, വ്യക്ത~ മായ ഒരു നിര്഼വചനം ഇതുവരെ ലഭിച്ചിട്ടില്ല. അതിനാല്഼ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യയെ നിര്഼വചിക്കാന്഼ ശ്രമിക്കാം.

ഈ നിര്഼വചനത്തില്഼ താര്഼ക്കികമായ പല വൈഷ്യമ്യങ്ങളും അടങ്ങിയി~ ട്ടുണ്ടു്. അവയില്഼ പ്രധാനമായതു് ശൂന്യഗണത്തിന്഼റെ ക്ലാസ് ഒഴിച്ചു് #മറെറാര഼ു ക്ലാസും ഒരു ഗണമാണു് എന്നു സങ്കല്പിക്കാന്഼ സാധ്യമല്ല എന്നതാണു്. #ശൂന്യ~ ഗണത്തോടു് സമാംഗീയമായ ഒരേ ഒരു ഗണമേ ഉള്ളു; ശൂന്യഗണം തന്നെ. അതു~ കൊണ്ടു് അതിന്഼റെ ക്ലാസില്഼ ഒരംഗമേ ഉള്ളു എന്നും ആ ക്ലാസു് ഒരു #ഗണമ഼ാ~ ണെന്നു വ്യക്തമാണല്ലോ. മറെറാരു ക്ളാസും ഗണമായിരിക്കുകയില്ല.ഉദാഹ~ രണത്തിനു്.A ഒരു ഏകാംഗ ഗണമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോ഼്഼ A ഇല്഼, എല്ലാ~ ഏകാംഗഗണങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. X ഏതു വസ്തുവാണെങ്കിലും {} ഒരേകാംഗ ഗണമാണു്; അതുകൊണ്ടു് {}A പ്രത്യേകിച്ചു് X ഏതു ഗണ~ മാണെങ്കിലും (). അപ്പോള്഼ എന്നൊരു ബന്ധം നിര്഼വചി~ ച്ചാല്഼ ഇതു് ഡൊമെയ്ന്഼ A ആയിട്ടുള്ള ഒരു ഉഭയക്ഷേപമായിരിക്കും. #ഇതിന്഼റെ പരാസത്തില്഼ എല്ലാ വസ്തുക്കളും ഉള്഼പ്പെടുന്നു. അതുകൊണ്ടു് A ഒരു #ഗണമാ~ ണെന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്഼ R യും ഒരു ഗണമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കേണ്ടിവരും. (ഡൊമെയ്ന്഼ ഗണമായിട്ടുള്ള ഒരു ഫലനത്തിന്഼റെ പരാസം എപ്പോഴും ഗണ~ മായിരിക്കും) R എല്ലാ വസ്തുക്കളും അംഗമായ ഒരു ഗണമായതുകൊണ്ടു് എല്ലാ ഗണങ്ങളുടെയും ക്ലാസ് R ഉടെ ഒരു ഉപഗണമാണെന്നു വരുന്നു. ഇതു് തികച്ചും ഒരു വൈരുധ്യമാണു് ഒരു വസ്തുവായി കണക്കാക്കാവുന്ന ക്ലാസുകളാ~ ണല്ലോ ഗണങ്ങള്഼. അതുകൊണ്ടു് ഒരു ക്ലാസു് ഗണമെല്ലെങ്കില്഼ അതിനെ ഒരു വസ്തുവായി കണക്കാക്കാനും സാധിക്കുകയില്ലെന്നു വരും. ഇതിന്഼റെ ഫലമായി കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളെ, നമ്മുടെ നിര്഼വചനമനുസരിച്ചു്, ഒരു വസ്തുവായി കണക്കാക്കാന്഼ സാധ്യമല്ല. ഈ വൈഷ്യമങ്ങള്഼ തരണം ചെയ്യാന്഼ റസ്സലും വൈററു് ഹെഡ്ഡും ചേര്഼ന്നു് ടൈപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിനു് രൂപം നല്഼കി. #എന്നാല്഼ ഇതനുസരിച്ചുള്ള ഗണിതത്തിന്഼റെ സ്വാഭാവം സാധാരണയായി അറിയുന്ന ഗണ~ ത്തിന്഼റെതില്഼ നിന്നു് വളരെ ഭിന്നവും സങ്കീര്഼ണവുമായതിനാല്഼ ഈ സിദ്ധാന്ത~ ത്തിനു് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെ ഇടയില്഼ വലിയ പ്രചാരം സിദ്ധിച്ചില്ല.

എന്നാല്഼ നമുക്കാവശ്യമുള്ളതും ഉണ്ടാകാന്഼ സാധ്യതയുള്ളതുമായ എല്ലാ ഗണ~ ങ്ങളുടെയും ഒരു സാര്഼വലൌകികഗണം U ഉണ്ടു് എന്നിരിക്കട്ടെ. ഇതിന്഼റെ ഘാതഗണം P(U) ഇല്഼ തുല്യാംഗീയത ഒരു തുല്യതാബന്ധത്തെ സൃഷ്ടിക്കുന്നു എന്നു് എളുപ്പം കാണാം. ഈ തുല്യതാബന്ധത്തിലെ തുല്യതാക്ലാസുകള്഼ സമാം ഗീയതയുള്ളതും P(U) ഇലെ അംഗങ്ങളുമായ ഗണങ്ങളുടെ സമൂഹമാണു്. ഇവയെ -96- കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളായി നിര്഼വചിച്ചാല്഼ സംഖ്യകളെ വസ്തുക്കളായി കണ~ ക്കാക്കുവാന്഼ വിഷമമില്ല. ഈ രീതിയിലും ചിലര്഼ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളെ നിര്഼വചിക്കാറുണ്ടു്. എന്നാല്഼ എല്ലാ ഗണങ്ങളും U ന്഼റെ ഉപഗണമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കാന്഼ സാധ്യമല്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ടു് U ഇല്഼ അടങ്ങാത്ത ഒരു ഗണവും ഒരിക്കലും നമുക്കു് കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടി വരില്ല എന്നും സങ്കല്പിക്കുവാന്഼഼വിഷമമാണു്. ഇപ്രകാരം P(U) ലെ അംഗമല്ലാത്ത ഗണങ്ങള്഼ എടുക്കേണ്ടി~ വരുന്പോള്഼ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼ തന്നെ മാറേണ്ടി വരും.

X ഒരു ഗണമാണെങ്കില്഼ നോടു് തുല്യാംഗീയതയുള്ള ഗണങ്ങളുടെ ക്ളാ~ സിനെ ഒരു ഗണമായി കരുതുവാന്഼ സാധ്യമല്ലെന്നാണല്ലോ ഈ ഗണത്തെ X ന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യഗയായി നിര്഼വചിക്കുന്നതിലുള്ള ഒരു വ൅ഷമ്യം. ഇതു മറെറാരു വിധത്തില്഼ തരണം ചെയ്യാം. ഈ ക്ലാസുകള്഼ ഓരോന്നില്഼ നിന്നു് ഓരോ ഗണങ്ങള്഼ തിരഞ്ഞെടുത്തു് ഈ തരഞ്ഞെടുത്ത ഗണങ്ങളെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളായി നിര്഼വചിക്കാം. ഇങ്ങനെ ചെയ്യുന്പോള്഼ എല്ലാ~ ഗണങ്ങള്഼ക്കും കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കും. മാത്രമല്ല, കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼ ഗണങ്ങളായതു കൊണ്ടു് അവയെ വസതുക്കളായി കൈകാര്യം ചെയ്യാനും സാധിക്കും. കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼ എന്ന സങ്കല്പത്തിനു് അടി~ സ്ഥാനം `തുല്യാംഗീയത' എന്ന ഗുണമാണല്ലോ. ഈ ഗുണമുള്ള ഗണങ്ങള്഼ക്കു് ഈ നിര്഼വചനപ്രകാരവും ഒരേ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യയായിരിക്കും ഉണ്ടാവുക. കകാരണം, ഓരോ തുല്യാംഗീയതാക്ലാസില്഼ നിന്നു് ഒരു ഗണം മാത്രമേ നാം എടു~ ക്കുന്നുള്ളു എന്നതുതന്നെ. ഈ രീതിയാണു് ഫോണ്഼ ന്യൂമാന്഼, ഗോയ്ദെന്഼ മുത~ ലായവര്഼ സ്വീകരിച്ചതു്.

നിര്഼വചനം: ഒരു ഗണത്തിന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ അതിനോടു് സമാം~ ഗീയതയുള്ള ഒരു ഗണമാണു്. സമാംഗീയമായ രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ ഒന്നു തന്നെയായരിക്കും.

ഗണം X ന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ഼ിയെ Card X എന്നോ X എന്നോ സൂചി~ പ്പിക്കാം. (ഇനി X എപ്പോഴും X ന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കു~ ന്നതാണു്.

2-4 സാന്ത കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼

സാന്തഗണങ്ങളുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകള്഼ സ്വാഭാവികസംഖ്യകളാണെന്നു നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടല്ലോ. ഈ വസ്തുത മേല്഼കൊടുത്ത കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളുടെ നിര്഼വചനത്തില്഼ നിന്നു തെളിയിക്കാം.

നിര്഼വചനപ്രകാരം ഒരു സാന്തഗണത്തിന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യ അതി നോടു സമാംഗീയമായ ഒരു ഗണമാണല്ലോ. ശൂന്യഗണം ൟോടു് സമംഗീയ -97- മായി മാത്രമേ ഉള്ളു. അതുകൊണ്ടു സൌകര്യത്തിനു് യെ എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം.

-99- N ന്഼റെ മേല്഼ കൊടുത്ത നിര്഼മിതിയില്഼ നിന്നു് സാന്തഗണങ്ങളുടെ #കാര്഼ഡി~ നല്഼ N ലെ അംഗമായിരിക്കുമെന്നു വ്യക്തമാണല്ലോ. സാന്തഗണങ്ങളുടെ ഒരു പ്രധാനഗുണം, അവയുടെ ഉചിത ഉപഗണങ്ങളൊന്നും ആ ഗണത്തോടു സമാംഗീ~ യമായിരിക്കുകയില്ല എന്നതാണു്. ഇതിനു് കാരണം സാന്തഗണങ്ങളെ സംബ~ ന്ധിച്ചിടത്തോളം അവയുടെ കാര്഼ഡിനല്഼ അതിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണമാ~ ണല്ലോ കാണിക്കുന്നതു്. അതായതു് n അംഗങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണത്തിന്഼റെ കാര്഼ഡി~ നല്഼ n ആയിരിക്കും; മറിച്ചു് ഒരു ഗണത്തിന്഼റെ കാര്഼ഡിനല്഼ n ആണെങ്കില്഼ അതില്഼ n അംഗങ്ങള്഼ മാത്രം ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതില്഼ നിന്നു് #ഒരു ഉചിത ഉപഗണത്തില്഼ തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലുള്ളിടത്തോളം അംഗങ്ങള്഼ ഉണ്ടാവില്ലെന്നു വ്യക്തമാണല്ലോ. എന്നാല്഼ ഒരു ഗണത്തിനു് അതിനോടു സമാംഗീയമായ ഉചിതഉപഗണങ്ങളില്ലെങ്കില്഼ അതൊരു സാന്തഗണമായിരി~ ക്കുമെന്നു തെളിയിക്കാം. -124- 2.8 പരാന്തകാര്഼ഡിനല്഼ സംഖ്യകളുടെ പ്രത്യേകത സാന്തഗണങ്ങളും അനന്തഗണങ്ങളും തമ്മില്഼ അടിസ്ഥാനപരമായ പല വ്യത്യാസങ്ങളുമുണ്ടു്. ഉദാഹരണത്തിനു് ഒരു സാന്തഗണം അതിന്഼റെ ഒരു ഉചിതഉപഗണത്തോടും സമാംഗീയമ഼ായിരിക്കുകയില്ല; എന്നാല്഼ എല്ലാ അന~ ന്തഗണങ്ങള്഼ക്കും അതിനോടു സമാംഗീയമായ ഒരു ഉപഗണമെങ്കിലും ഉണ്ടാ~ യിരിക്കും. അനന്തഗണങ്ങളുടെ മററു ചില സവിശേഷതകള്഼ ഇവിടെ ചര്഼ച്ച ചെയ്യാം. -125- ഇവയെല്ലാം ചോയിസു്ഗൃഹീതത്തിന്഼റെ അനന്തര ഫലങ്ങളാണു്. എന്നാല്഼ പ്രായോഗികമായി, ഈ തത്വത്തോടു സമാനമായ `സോണിന്഼റെ സഹപ്രമേയം' എന്നിറിയപ്പെടുന്ന തത്വമാണു് ഇവ തെളിയിക്കാന്഼ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്.

(X, <) ഒരു ക്രമിത (ആംശികക്രമിത) ഗണമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. X ലെ ഒരംഗം , <y എങ്കില്഼ =y (y< എങ്കില്഼ =y) എന്ന നിബന്ധന അനുസരിക്കുന്നെങ്കില്഼ അതിനെ X ലെ ഉച്ചസ്ത അംഗം അല്ലെങ്കില്഼ മാക്സി~ മല്഼ അംഗം (നീചസ്ഥ അംഗം അല്ലെങ്കില്഼ മിനിമല്഼ അംഗം) ആണെന്നു പറയുന്നു.

സോണിന്഼റെ സഹപ്രമേയം (Zorn's Lemma) (X, <) ഒരു(ആംശിക) ക്രമിത ഗണമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. X ന്഼റെ ഓരോ രേഖീയക്രമിത ഉപഗണങ്ങള്഼ക്കും ഉപരിപരിബദ്ധം X ലുണ്ടെങ്കില്഼ X ല്഼ ഉച്ചസ്ഥ അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിക്കും.

ഉച്ചസ്ഥ അംഗങ്ങളുടെ അസ്തിത്വം പലപ്പോഴും വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഒരു ക്രമിതഗണത്തില്഼ ഇപ്രകാരമുള്ള അംഗങ്ങള്഼ ഉണ്ടായെന്നു വരില്ല. ഉദാ~ ഹരണത്തിനു് N (സ്വാഭിവികസംഖ്യഗണം) രേഖീയക്രമിതമാണെങ്കിലും N ല്഼ ഉച്ചസ്ഥ അംഗങ്ങളില്ല. മറിച്ചു് ഓരോ ഗണങ്ങളുടെയും തല്഼സമക ബന്ധം ഒരു ക്രമബന്ധമാണെന്നു് മുന്പു് പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ടല്ലോ. X നു് അതിന്഼റെ തല്഼സമകബന്ധം കൊടുത്തു് കിട്ടുന്ന ക്രമിത ഗണത്തില്഼ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഉച്ചസ്ഥാങ്ങളായിരിക്കും. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ഗണത്തില്഼ ഉച്ചസ്ഥ #അംഗങ്ങള്഼ ഉണ്ടായിരിക്കുമോ ഇല്ലയോ എന്നു് പരിശോധിക്കുവാന്഼ മേല്഼കൊടുത്ത പ്രമേയം ഉപയോഗപ്പെടുത്താം. ******