-6-

2

സ്ഥാനമൂല്യവും ദശാങ്കസന്പ്രദായവും

സ്ഥാനമൂല്യത്തില്഼ അധിഷ്ഠിതമായ പത്തക്കസന്പ്രദായമാണു് ഗണിത~ ത്തിന്഼റെ വളര്഼ച്ചയ്ക്കു നിദാനം. ഈയൊരു സന്പ്രദായമില്ലായിരുന്നു എങ്കില്഼ ഗണിതത്തിന്഼റെ നില എന്തായിരിക്കും എന്നു് ആലോചിക്കുകതന്നെ പ്രയാസം. ഫ്രഞ്ചുഗണിതജ്ഞനായ ലപ്ലാസിന്഼റെ വാക്കുകള്഼ വളരെയേറെ പ്രസക്തങ്ങളാണു്."ഒന്പതു് അക്കങ്ങള്഼ കൊണ്ടു് എല്ലാ സംഖ്യ~ കളെയും പ്രകാശിപ്പിക്കുക; ഈ അഭിവ്യഞ്ജനയിലൂടെ അവയ്ക്ക് തനതായ ഒരു മൂല്യവും അതോടൊപ്പം തന്നെ അവ നില്ക്കുന്ന സ്ഥാനത്തിന്഼റേതായ മറെറാരു മൂല്യവും പകരുക; ഇതു് വളരെ ലളിതമായ ഒന്നാണു്. ഈ സന്പ്രദായം അര്഼ഹി~ ക്കുന്ന മേന്മ എന്തെന്നു് നാം വേണ്ടത്ര ബോധവാന്മാരാകാതെ പോയതിന്഼റെ കാരണം ഇതിന്഼റെ അതീവ ലാളിത്യം തന്നെയത്രേ." ഈ സന്പ്രദായത്തിന്഼റെ ഉറവിടം ഭാരതം ആണു്.

പൂജ്യം ആവിഷ്കരിച്ചതു് ഭാരതീയരാണു്. "ശൂന്യം" എന്നത്രേ പൂജ്യ~ ത്തിന്഼റെ ഭാരതീയസംജ്ഞ. 1,2,3 തുടങ്ങിയ അക്കങ്ങളെപ്പോലെ ഒരക്കമാണു് പൂജ്യം; അതോടൊപ്പം തന്നെ സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായത്തിനുളള ഒരുപാധിയു~ മാണു്. ഓരോ അക്കത്തിനും തനതുവിലയോടൊപ്പം (മൂല്യം) നില്഼ക്കുന്ന സ്ഥാനത്തിന്഼റെ വിലകൂടി കല്പിക്കുന്ന സന്പ്രദായമാണല്ലോ സ്ഥാനമൂല്യം. ഒററയുടെ സ്ഥാനത്തുളള അക്കത്തിനു് അതിന്഼റെ വില മ഼ാത്രം, പത്തിന്഼റെ സ്ഥാനത്തുളളതിനു് അതിന്഼റെ നൂറുമടങ്ങുവില, ഇതാണു് സ്ഥാനമ഼ൂല്യം. ഒന്നും ഇല്ലാത്ത അവസ്ഥയെ കുറിക്കാനും പത്തിന്഼റെ മടങ്ങുകളെ കുറിക്കാനും പൂജ്യം വേണം. ഈ രണ്ടു നിലയിലും ഭാരതത്തില്഼ പൂജ്യം പ്രചാരത്തിലിരുന്നു എന്നതാണു് വാസ്തവം.

പിംഗളന്഼റെ ച്ഛന്ദസൂത്രത്തില്഼ (ബ഼ി.സി.200) പൂജ്യവും അതിന്഼റെ #പ്രതീ~ കവും കാണാം. ബകസ്ഥലീ ഗ്രന്ഥത്തില്഼ പൂജ്യമുപയോഗിച്ചുളള ക്രിയകളുണ്ടു്.

-7-

പൂജ്യത്തിനു് ബകസ്ഥലീകാരന്഼ നല്഼കിയ പ്രതീകം ഒരു കത്തു് (ചെറുവൃത്തം) ആണു്: എന്നര്഼ഥം വരുന്ന പ്രയോഗവും ബകസ്ഥലീഗ്രന്ഥത്തിലുണ്ടു്. ഇതുപോലുളള ക്രിയകള്഼ പ്രസ്തുത കൃതിയില്഼ ഉടനീളമുണ്ട്. `പഞ്ചസിദ്ധാന്തിക'യിലും `പുലിശസിദ്ധാന്ത'ത്തിലും പലയിടത്തും പൂജ്യം കാണാം. ജിനഭദ്രഗണി- 224,400,000,000 എന്ന സംഖ്യയെ കുറിക്കുക 22,44, എട്ടു പൂജ്യം എന്നത്രേ- 3,200,400,000,000 എന്നതിനെ 32, രണ്ടു പൂജ്യം, 4, എട്ടു പൂജ്യം എന്നും. #ഭാസ്ക~ രീയത്തിലും ആര്യഭടീയത്തിലും പൂജ്യത്തിന്഼റെ പ്രയോഗങ്ങള്഼ കാണാം. 3,534,400,000,000 ന്഼റെ വര്഼ഗ്ഗമൂലം കാണാന്഼ സിദ്ധസേനഗണി (തത്വാര്഼ഥാ~ ധിഗമസൂത്രഭാഷ്യത്തില്഼) "8 പൂജ്യത്തിന്഼റെ പകുതി പൂജ്യം, അതായതു് 4 പൂജ്യം എടുക്കുക; ശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വര്഼ഗമൂലം 1-8-8. അങ്ങനെ വര്഼ഗമൂലം 1880000" എന്നു പറയുന്നു.

പുലിശന്഼ പൂജ്യം ഒരു പ്രത്യേക അക്കം എന്നപോലെ എടുത്തുപെരുമാറി. കവി സുബന്ധുവിന്഼റെ "വാസവദത്ത"യില്഼ "പൂജ്യത്തിന്഼റെ ബിന്ദുക്കള്഼ പോലെ" എന്നു് ആലങ്കാരികമായി പ്രയോഗിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അന്നു് പൂജ്യത്തിന്഼റെ ചിഹ്നഃബിന്ദു ആയതിനാലാണു് ഈ പ്രയോഗം എന്നു പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ. ജിനഭദ്ര~ ഗണി (529-589) പൂജ്യം സംഖ്യാചിഹ്നമായി ഉപയോഗിച്ച ആളാണു്. ജയവര്഼ധനന്഼ II ന്഼റെ രഘോലീഫലകങ്ങളും (8-ാം ശതകം) ഭോജദേവന്഼റെ ഗ്വാളിയര്഼ശാസനങ്ങളിലും (9-ാം ശതകം) പൂജ്യത്തിനു് ഇന്നു നാം ഉപയോഗി~ ക്കുന്ന പ്രതീകം തന്നെ കാണുന്നു.

ഭാരതത്തിലെ ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളിലെല്ലാം പൂജ്യം കൊണ്ടു ക്രിയകള്഼ #ചെയ്യു~ ന്നതിനുളള നിയമങ്ങള്഼ പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്. a-a=O എന്ന നിലയിലുളള നിര്഼വചനങ്ങള്഼ പൂജ്യത്തിനുണ്ടായിട്ടുണ്ടു് (ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തം). ഒരു സംഖ്യയോടു പൂജ്യം കൂട്ടിയാലും സംഖ്യയില്഼ നിന്നു പൂജ്യം കുറച്ചാലും സംഖ്യക്കു മാററമൊന്നുമില്ല. ഏതു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണി~ ച്ചാലും ഫലം പൂജ്യം തന്നെ. പൂജ്യത്തെ ഏതു സംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാവുന്ന~ താണു്. ഹരണഫലം പൂജ്യം തന്നെ. ആധുനികഗണിതജ്ഞരെപ്പോലെ ഭാരതീയരും പൂജ്യം കൊണ്ടുളള ഹരണം നിര്഼വചിച്ചിട്ടില്ല. എന്നാല്഼ ഏതെ~ ങ്കിലും സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിക്കുന്പോള്഼ കിട്ടുന്ന ഹരണഫലത്തെ "ഖച്ഛേദം" (തച്ഛേദം) എന്നു ബ്രഹ്മഗുപ്തനും "ഖഹരാം" എന്നു് ഭാസ്കരാചാര്യനും വിശേഷിപ്പിച്ചിട്ടുമുണ്ടു്.

-8-

എന്നും പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതിനാല്഼ പൂജ്യത്തെ, എന്ന, പൂജ്യത്തോടു് ഉപഗമി~ ക്കുന്ന സീമാമൂല്യമുളള അല്പതമരാശി എന്ന അര്഼ഥത്തില്഼ ഭാസ്കരാചാര്യന്഼ പരിഗണിച്ചിരുന്നതായി മനസ്സിലാക്കാം. തന്നെയുമല്ല " ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യംകൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്഼ ഫലം പൂജ്യം; എന്നാല്഼ തുടര്഼ന്നും ക്രിയകള്഼ #ഉണ്ടെ~ ങ്കില്഼, പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിച്ച രൂപത്തില്഼ (ഖഗുണം എന്ന സംജ്ഞ)ത്തന്നെ സൂക്ഷിച്ചുകൊണ്ടു് തുടര്഼ന്നുളള ക്രിയകള്഼ നടത്തണം" എന്നു ഭാസ്കരാചാര്യന്഼ പറയുന്നുമുണ്ടു്.

ചുരുക്കത്തില്഼, പൂജ്യത്തെ അതിന്഼റേതായ എല്ലാവിധ അര്഼ഥത്തിലും പ്രാചീന ഭാരതീയര്഼ മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നു. ക്രിസ്ത്വബ്ദാംരഭത്തോടുകൂടി~ ത്തന്നെ പൂജ്യം ഭാരതത്തില്഼ ആവിര്഼ഭവിച്ചു. പൂജ്യം ബാബിലോണിയാക്കാ~ രുടെ സംഭാവനയാണെന്നു് ചില ഗണിതചരിത്രകാരന്മാര്഼ക്കു് അഭിപ്രായ~ മുണ്ടു്. എന്നാല്഼ ഇക്കാര്യം അവിതര്഼ക്കിതമായി തെളിയിക്കാന്഼ അവര്഼ക്കു കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല. ബാബിലോണിയന്഼ ഷഷ്ഠ്യാധാരസംഖ്യകളില്഼ (ഇന്നു് 10 ആണല്ലോ സംഖ്യകളുടെ ആധാരം. ബാബിലോണിയായില്഼ 60 ആയിരുന്നു ആധാരസംഖ്യ) സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായം അംഗീകരിച്ചിരുന്നതു് ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്ര~ പരമായ കാര്യങ്ങളില്഼ മാത്രമാണു്. ഭാരതത്തിലെപ്പോലെ ജീവിതത്തിന്഼റെ എല്ലാ മേഖലകളിേലക്കും ഇതിനു വ്യാപ്തിയുണ്ടായിരുന്നില്ല. കലണ്ടറുകളില്഼ മാത്രമേ പൂജ്യത്തിനു് അവര്഼ ചിഹ്നമുപയോഗിച്ചിട്ടുമുളളു. പൂജ്യത്തിന്഼റെ പ്രതീകത്തിന്഼റെ അഭാവം അവരുടെ സംഖ്യകള്഼ എന്തെന്നു കൃത്യമായി ഇന്നു മനസ്സിലാക്കുന്ന കാര്യത്തിനു വിലങ്ങുതടിയായി വര്഼ത്തിക്കുന്നു. മധ്യഅമേരി~ ക്കയിലെ മയന്മാര്഼ ആണെങ്കില്഼ ഏതാനും ശിലാശാസനങ്ങളില്഼ പൂജ്യത്തിനു് പ്രത്യേകം പ്രതീകം ഉപയോഗിച്ചുട്ടുണ്ടു്. (20 ആണു് അവരുടെ ആധാര സംഖ്യ). എന്നാല്഼ അതിനെ ആകെക്കൂടിയുളള ഗണിതത്തിന്഼റെയും സംഖ്യാസന്പ്ര~ ദായത്തിന്഼റെയും ഭാഗമായി കാണാനോ ഗണിതത്തിന്഼റെ ഭാഗമായി വളര്഼ത്തി~ യെടുക്കാനോ മയന്മാര്഼ക്കും കഴിഞ്ഞില്ല. നമ്മുടെ പുരാണങ്ങളും പുരാതന രേഖകളും പ്രാചീനസാഹിത്യവും നാമാണു് പൂജ്യത്തിന്഼റെ ആവിഷ്കര്഼ത്താ~ ക്കള്഼ എന്ന കാര്യത്തിനു് മതിയായ സാക്ഷ്യം വഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

എഴുത്തുവിദ്യ

ഭാരതത്തില്഼ വേദകാലത്തുതന്നെ എഴുത്തുവിദ്യ ആരംഭിച്ചിരുന്നതായി ന്യായമായും കണക്കാക്കാം. എന്നാല്഼ ബി.സി. എട്ടാംശതകത്തോടുകൂടി

-9-

മാത്രമാണു് എഴുത്തു് ആരംഭിക്കുന്നതെന്നും ഇതു് സെമിററിക് ലിപികളെ ആധാരമാക്കിയാണു് ആരംഭിച്ചതെന്നും പറയുന്ന പാശ്ചാത്഼യപണ്ഡിതന്മാരുണ്ടു്. (സര്഼.ഡബ്ല്യു.ജോണ്഼സ്, കോപ്പ്, എ. ടെയ്ലര്഼, വെബര്഼ തുടങ്ങിയവര്഼). ഇവരുടെയിടയില്഼ത്തന്നെ രൂക്ഷമായ അഭിപ്രായഭിന്നതകള്഼ നിലവിലുണ്ടു്. സെമിററിക് ഭാഷാഗോത്രത്തില്഼പ്പെട്ട ഫീനിഷ്യന്഼ ആണു് മൂലലിപി എന്നാണു് ഇവരില്഼ ചിലര്഼ പറയുന്നതു്. ഏതായാലും ഇക്കാര്യം യുക്ത്യധി~ ഷ്ഠിതമായി സമര്഼ഥിക്കാന്഼ ഇവര്഼ക്കു കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല.

വേദകാലത്തുതന്നെ എഴുത്തു് ആരംഭിച്ചിരുന്നതായി ന്യായമായും കരുതാം. `ഋഗ്വേദത്തില്഼ "സഹസ്രാം മേ ദദതോ അഷ്ടകര്഼ണ്യാ" എന്നു കാണുന്നു. ചെവിയില്഼ 8 എന്നെഴുതിയ ആയിരം പശുക്കളെ എനിക്കു തന്നാലും എന്നര്഼ഥം. `ഒന്നില്഼ പന്തയം കെട്ടി വിശ്വസ്തയായ ഭാര്യയെ നഷ്ടപ്പെട്ടതായി' ഋഗ്വേദ~ ത്തില്഼ പറയുന്നു. `വസിഷ്ഠധര്഼മസൂത്ര'ത്തില്഼ "നിയമപരമായ സാധുതയുളളവ~ യാണു് ലിഖിതപ്രമാണങ്ങള്഼" എന്നു് പരാമര്഼ശമുണ്ടു്. അഥര്഼വവേദത്തില്഼ "അജൈഷാം ത്വാ സംലിഖിതാം അജൈഷമുത സംരുദ്ധം" എന്നുണ്ടു്. ഇതിലെ `സംലിഖിതം' എന്ന പ്രയോഗം ശ്രദ്ധേയമാണു്. വേദങ്ങളില്഼ അക്ഷരം, കാണ്ഡം, പടലം, ഗ്രന്ഥം തുടങ്ങിയ പ്രയോഗങ്ങള്഼ കാണുന്നതിനാല്഼, ന്യായ~ മായും എഴുത്തുവിദ്യ അവര്഼ അറിഞ്ഞിരുന്നതായി കണക്കാക്കണം. പാണിനി (ബി.സി.700) `ലിപികാരന്഼' എന്നു് എഴുത്തുകാരനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു. മദ്രാസ് മ്യൂസിയത്തില്഼ സൂക്ഷിച്ചിരിക്കുന്ന കളിമണ്഼സാധനങ്ങളില്഼ ധാരാളം എഴുത്തുകള്഼ കാണാം. ഇവ മഹാശിലായുഗകാലത്തും (മെഗാലിത്തിക് കാലം, സുമാര്഼ 1500 ബി.സി.) നവീനശിലായുഗകാലത്തും (നിയോലിത്തിക് കാലം, ബി.സി.6000-3000) നിര്഼മിക്കപ്പെട്ടവയാണു് എന്നു് തെളിഞ്ഞി~ ട്ടുണ്ടു്. ഇവയില്഼ ചിലതിനെല്ലാം അശോകന്഼റെ കാലത്തെ ബ്രാഹ്മിലിപിയു~ മായുളള സാദൃശ്യം ഭണ്ഡാര്഼ക്കര്഼, എച്ച്.സി.റേ തുടങ്ങിയ പണ്ഡിതന്മാര്഼ എടുത്തുകാട്ടിയിട്ടുണ്ടു്. മോഹന്഼ജൊദാരോയിലെയും ഹരപ്പായിലെയും അവശി~ ഷ്ടങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തില്഼ ലിഖിതപ്രമാണങ്ങളും ലിഖിതമുദ്രകളും ലിഖിതശാസന~ ങ്ങളും കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ടു്. ഇവയുടെയെല്ലാം അടിസ്ഥാനത്തിലാണു് ഭാരത~ ത്തില്഼ എഴുത്തുവിദ്യ വേദകാലത്തുതന്നെ ആരംഭിച്ചു എന്നു വിശ്വസിക്കാന്഼ കഴിയുന്നതു്.

കുത്തന്഼വരകളും അവയുടെ പ്രത്യേകതരം ചേരുവകളുമാണു് മോഹന്഼ജൊ~ ദാരോ സംഖ്യകളുടെ പ്രത്യേകത. ഗാന്ധാരദേശത്തു് (ഇന്നത്തെ കിഴക്കന്഼ അഫ്ഗാനിസ്ഥാനും വടക്കന്഼ പഞ്ചാബും) പ്രചാരത്തിലിരുന്ന ലിപിയാണു് `ഖരോഷ്ഠീലിപി'. വലതുനിന്നു് ഇടത്തോട്ടാണു് എഴുത്തും വായനയും. ബി.സി.4-ാം ശതകം മുതല്഼ ഏ.ഡി.മൂന്നാം ശതകം വരെ ഈ ലിപി ഈ പ്രദേശത്തു നിലിവിലിരുന്നു. ഭാരതത്തിലാകമാനം, എന്നുതന്നെ പറയട്ടെ, പ്രചരിച്ചിരുന്നതു് ബ്രാഹ്മീലിപിയാണു്. പ്രാചീനഭാരതീയരുടെ ദേശീയ ലിപി ബ്രാഹ്മിയായിരുന്നു എന്നു സാരം. ആദ്യകാലത്തു് മോഹന്഼ജൊദാരോയിലും

-10-

ഹരപ്പായിലും മററും നിലനിന്നിരുന്ന ചിത്രാക്ഷേരങ്ങളാണു് ബ്രാഹ്മീ ലിപിയുടെ ഉറവിടം. ബ്രാഹ്മീലിപി ആയിരുന്നു മററു ഭാഷകളിലെ ലിപിക~ ളുടെ ആധാരമായി വര്഼ത്തിച്ചതു്. എന്നാല്഼ തമ്മില്഼ അറിയാത്തവിധം അവയുടെ ആകൃതികളില്഼ സാരമായ വ്യതിയാനങ്ങള്഼ കാലക്രമേണ കടന്നുകൂടി. അക്കങ്ങളും ലിപികളും ഭാരതത്തിന്഼റെ പലഭാഗത്തും പലതായിത്തീര്഼ന്നു. ഇവയ്ക്കു് ഭാരതത്തില്഼ ഏകീകൃതസ്വഭാവം ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. പ്രശസ്ത അറബ് സഞ്ചാരിയായിരുന്ന അല്഼ബീറൂനി ഏതാനും കാലം ഭാര഼തത്തില്഼ ചെലവഴിക്കു~ കയുണ്ടായി. അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ പറയുന്നു: "ഭാരതത്തിലെ വിവിധ പ്രദേശ~ ങ്ങളില്഼ അക്ഷരങ്ങളുടെയും അക്കങ്ങളുടെയും ആകൃതികള്഼ വിവിധങ്ങള്഼ #ആണു്."

"സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായവും, പൂജ്യമെന്നപോലെ, ക്രിസ്ത്വബ്ദാരംഭത്തോടു കൂടിത്തന്നെ രൂപംകൊണ്ടതായി കരുതണം. `അനുയോഗദ്വാരസൂത്ര'ത്തില്഼ ലോകത്തിലെ ജനസംഖ്യ 29 സ്ഥാനമുളള ആണെന്നു് പറയുന്നു. "ഒററയുടെ സ്ഥാനത്തു നിന്നിടത്തോട്ട് ഓരോ സ്ഥാനത്തിന്഼റെയും വില, തൊട്ടു വലതു വശത്തുളള സ്ഥാനത്തിന്഼റെ വിലയുടെ 10 മടങ്ങാണു്" എന്നു് അഗ്നിപുരാണ~ ത്തില്഼ പറയുന്നു. ഓരോ സ്ഥാനത്തു നിന്നും അടുത്ത സ്ഥാനത്തേക്കു കടക്കു~ ന്പോള്഼ വില 10 മടങ്ങുവീതം വര്഼ധിക്കുന്നു എന്നു വിഷ്ണുപുരാണത്തില്഼ #കാണുന്നു. യോഗസൂത്രത്തിന്഼റെ വ്യാസഭാഷ്യത്തില്഼ പതഞ്ജലി പറൟുന്നതു ശ്രദ്ധിക്കുക. "കുത്തനെയുളള ഒരുവര ഒററയുടെ സ്ഥാനത്തു് ഒന്നും, പത്തിന്഼റെ സ്ഥാനത്തു പത്തും, നൂറിന്഼റെ സ്ഥാനത്തു് നൂറും...". "കുത്തനെയുളള വര ഒന്നുതന്നെയാ~ ണെങ്കിലും, സ്ഥാനം മാറുന്നതനുസരിച്ചു് അതിന്഼റെ വില 1, 10,100,1000 എന്നിങ്ങനെ ആകുന്നതുപോലെ..." എന്നാണു് ശങ്കരാചാര്യര്഼ ശാരീരികഭാഷ്യ~ ത്തില്഼ പറയുന്നതു്. ഗണിതത്തില്഼ വേരോടിയതിനുശേഷം മാത്രമേ സാഹിത്യ സൃഷ്ടികള്഼ പോലെയും വേദാന്തരഹസ്യങ്ങള്഼ ബഹുജനങ്ങള്഼ക്കു വിവരിച്ചു കൊടുക്കുന്ന വ്യാഖ്യാനങ്ങള്഼ പോലെയും ജനങ്ങള്഼ വ്യാപകമായി സ്വീകരി~ ക്കുന്ന കൃതികളില്഼ ഇവ കടന്നുപററൂ.

സംഖദേവന്഼റെ ഗുര്഼ജറാഗ്രാന്഼ഡ്പ്ലേററില്഼ സംവത് 346 എന്നു് #സ്ഥാന~ മൂല്യരീതിയില്഼ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടു്. ഏ.ഡി.595 ആണു് ഇതിന്഼റെ കാലം. 646 ലെ ബല്഼ഹരീശിലാശാസനത്തിലും 674 ലെ കന്഼ഹരീശിലാ ശാസനത്തിലും സ്ഥാനമൂല്യരീതിയില്഼ വര്഼ഷങ്ങള്഼ കുറിച്ചിട്ടുണ്ടു്. ഏ.ഡി. 8-ാം ശതകത്തിലെ ജയവര്഼ധനന്഼ II ന്഼റെ ര഼ഘോലീഫലകങ്ങളില്഼ 30 സ്ഥാന~ മൂല്യസന്പ്രദായത്തില്഼ കാണാം. 725 ലെ രണ്ടു സംസ്കൃത഼ശാസനങ്ങള്഼ ബ്രിട്ടീഷ് മ്യൂസിയത്തിലുണ്ടു്. ഇവയില്഼ സംവത് 781, സംവത് 783 എന്നിവ സ്ഥാനമൂല്യാടിസ്ഥാനത്തില്഼ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടു്. 736 ലെ ധിനികീതാമ്രഫലകത്തില്഼ വിക്രമസംവത് 794 ആധുനികരീതിയില്഼ അങ്കനം ചെയ്തിരിക്കുന്നു. 754 ലെ ദന്തിദുര്഼ഗന്഼റെ രാഷ്ട്രകൂടഫലകത്തില്഼ സംവത് 675 എഴുതിയിരിക്കുന്നതു് സ്ഥാനമൂല്യതത്ത്വം ആസ്പദമാക്കിയാണു്. സാമന്ത~ ദേവദത്തന്഼റെ 791 ലെ ശാസനങ്ങളില്഼ വിക്രമസംവത് 847 സ്ഥാനമൂല്യക്രമ഼ത്തില്഼

-11-

എഴുതിയിട്ടുളളതു കാണാം. 793 ലെ ശങ്കര്഼ഗണന്഼റെ ദൌലത്തബാദ് ഫലകങ്ങളില്഼ ശകം 715 കാണുന്നുണ്ടു്. ഇങ്ങനെ ശാസനങ്ങളും ഫലകങ്ങളും ലിഖിതങ്ങളുമായി പ്രാചീനകാലത്തെ 33 രേഖകള്഼ വിഭൂതിഭൂഷണ്഼ദത്തയും അവദേശ്നാരായണ്഼സിങ്ങും ചേര്഼ന്നെഴുതിയ ഗ്രന്ഥത്തില്഼ സ്ഥാനമൂല്യരീതിയുടെ പ്രാചീനത വ്യക്തമാക്കാനായി കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്.

കൂടാതെ വിദൂരപൂര്഼വദേശങ്ങളില്഼ ഹിന്ദുഅധിവാസമുണ്ടായിരുന്ന ഏതാനും കേന്ദ്രങ്ങളിലും സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായത്തില്഼ സംഖ്യകള്഼ രേഖപ്പെടുത്തിയ രേഖകള്഼ കാണാന്഼ കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ശ്രീവിജയന്഼റെ മൂന്നു ശാസനങ്ങള്഼ #ആണു് ഇവയില്഼ പ്രധാനം. സുമാത്രയിലെ പാലാംബാങ്ങില്഼ കണ്ടുകിട്ടിയ രേഖക~ ളില്഼ ശകം 605, 606 എന്നിവയും ബങ്കദ്വീപില്഼ നിന്നു കിട്ടിയ രേഖയില്഼ ശകം 608 എന്നും സ്ഥാനമൂല്യരീതിയില്഼ അങ്കനം ചെയ്തിട്ടുണ്ടു്. കന്പോഡിയ~ യിലെ സാംബറില്഼ ശകം 605 എന്നും ചന്പയിലെ പോനഗറില്഼ ശകം 675 എന്നും രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുളള ശാസനങ്ങള്഼ കണ്ടുകിട്ടിയിട്ടുണ്ടു്.

മിക്ക ഫലകങ്ങളും താമ്രഫലകങ്ങളാണു്. രാജാക്കന്മാരോ പ്രഭുക്കന്മാരോ വശിഷ്ടവേളകളില്഼ ബ്രാഹ്മണര്഼ക്കു നല്഼കിയ ദാനവും മററും സംബന്ധിച്ച ഔദ്യോഗികരേഖകളാണു് ഇവ. അതിനാല്഼ ഇവയുടെ ആധികാരികത ചോദ്യം ചെയ്യാവതല്ല. ഔദ്യോഗികരേഖകള്഼ തയ്യാറാക്കുന്ന കാര്യത്തിലെ വിദഗ്ധ~ ന്മാരെപ്പററി കല്഼ഹണനും ബുദ്ധസാഹിത്യകാരന്മാരും പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്. തന്മൂലം നിയമസാധുതയുളള രേഖകള്഼ തയ്യാറാക്കുന്നതില്഼ വൈദഗ്ധ്യം നേടിയ~ വരുടെ സഹായത്തോടെകൂടി തയ്യാറാക്കപ്പെട്ടവയാണിവ എന്നതിനും സന്ദേഹ~ ത്തിനു് അവകാശമില്ല.

സ്ഥാനമൂല്യരീതി

ശാസനങ്ങളും മററും പൊതുജനങ്ങളുടെ അറിവിലേക്കായാണു് തയ്യാറാക്കു~ ന്നതു്. അതിനാല്഼ ജനങ്ങള്഼ പരക്കെ അറിഞ്ഞിരുന്ന സന്പ്രദായങ്ങളല്ലാെത ഇവയില്഼ സ്ഥാനം പിടിക്കയില്ല. അച്ചടിയും മററും നിലവിലില്ലാതിരുന്ന~ തിനാല്഼ ഒരു രീതി പരക്കെ അംഗീകാരം പിടിച്ചുപററാന്഼ അക്കാലത്തു നൂററാ~ ണ്ടുകള്഼ തന്നെ വേണമായിരുന്നു. ഗ്രീസിലെ അക്ഷരസംഖ്യകള്഼ ബി.സി. ഏഴാംശതകത്തില്഼ ആരംഭിച്ചു എങ്കിലും ഏ.ഡി.രണ്ടാം ശതകമായപ്പോഴേക്കേ വ്യാപകമായി പ്രചാരം നേടിയുളളു എന്നു് ഹീത്ത് പറയുന്നു. അക്കാല഼ത്തു് ഓരോന്നും പ്രചരിക്കാന്഼ വേണ്ടിയി~ രുന്ന കാലയളവിലേക്കു് ഈ പ്രസ്താവന വിരല്഼ ചൂണ്ടുന്നു. അങ്ങനെയൊക്കെ നോക്കുന്പോള്഼ പൂജ്യവും സ്ഥാനമൂല്യരീതിയും ക്രിസ്ത്വബ്ദാംരംഭത്തോടെ ആവി~ ഷ്കൃതമായതായി കണക്കാക്കണം.

ഇന്ത്യയില്഼ നിന്നു് ഈ സന്പ്രദായം 8-ാം ശതകത്തോടെ അറേബ്യയി~ ലെത്തി. ഖാലിഫ് അല്഼ മന്഼സൂറിന്഼റെ (753-774) ഭരണകാലത്തു് ഇന്ത്യയും

-12-

ബാഗ്ദാദും തമ്മില്഼ അടുത്ത സാംസ്കാരികബന്ധങ്ങളുണ്ടായി. ബ്രഹ്മസ്ഫുട~ സിദ്ധാന്തം തുടങ്ങിയ ഗണിതകൃതികളിലൂടെ സ്ഥാനമൂല്യാധിഷ്ഠിതസംഖ്യകള്഼ അറേബ്യയില്഼ എത്തിച്ചേരേുകയും പ്രചരിക്കാന്഼ ആരംഭിക്കുകയും ചെയ്തു. ആറു നൂററാണ്ടുകള്഼ കഴിഞ്ഞശേഷമേ അറേബ്യയില്഼ ഈ രീതി വ്യാപകമായ അംഗീകാരം നേടിയുളളു. എന്നിട്ടുപോലും ഔദ്യോഗികരേഖകളിലും നിയമ രേഖകളിലും ചരിത്രരേഖകളിലും അറബികള്഼ ഉപയോഗിച്ചതു് അവരുടെ പഴയ സന്പ്രദായമാണ഼ു്.

അറേബ്യയിലൂടെ ഈ രീതി പാശ്ചാത്യദേശങ്ങളിലെത്തി. അതിനാല്഼ അവര്഼ ഇവയെ `ഹിന്ദു അറബ് സംഖ്യകള്഼' എന്നു വിളിക്കുന്നു. പത്താംശതക~ ത്തോടുകൂടി ഈ സന്പ്രദായം യൂറോപ്പിലെത്തിച്ചേര്഼ന്നു. എന്നാല്഼ പ്രചാരം നേടിയെടുക്കാന്഼ സമയം കുറെയെടുത്തു. കലണ്ടറുകളില്഼പ്പോലും റോമന്഼ സംഖ്യകളായിരുന്നു അവിടങ്ങളില്഼. എല്ലാ ജനങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒന്നാ~ ണല്ലോ കലണ്ടര്഼. അതിനാല്഼ ഏററവും കൂടുതല്഼ പ്രചാരമുളള സന്പ്രദായമേ കലണ്ടറുകളില്഼ സ്ഥാനം പിടിക്കൂ. കോബെലിന്഼റെ 1578 ലെ കലണ്ടറില്഼ റോമന്഼ സംഖ്യകള്഼ക്കു മുഖ്യസ്ഥാനവും ഇന്ത്യന്഼ അക്കങ്ങള്഼ക്ക് #ഉപസ്ഥാനവു~ മാണു് നല്഼കിയിട്ടുളളതു്. ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളില്഼ പൊതുവെ ഇവ ഉപയോഗിച്ചു തുടങ്ങിയതു് 17-ാം നൂററാണ്ടോടുകൂടി മാത്രമാണു്. ബിയോഥ്യസിന്഼റെ (റോം, Boethius, 475-554) ജ്യാമിതിക്കു് 10-ാം ശതകത്തിലുണ്ടായ കൈയെ~ ഴുത്തുപ്രതിയില്഼ ഇന്ത്യന്഼ സംഖ്യകള്഼ കാണാനുണ്ടു്. തന്മൂലം ഈ സന്പ്രദായം 5-ാം ശതകത്തോടുകൂടി യൂറോപ്പിലെത്തി എന്നു കരുതുന്നവരുണ്ടു്. എന്നാല്഼ ബിയോഥ്യസിന്഼റെ അങ്കഗണിതത്തില്഼ ഈ രീതി കാണാനില്ല. ബിയോഥ്യ~ സിനുതന്നെ ഇവയെപ്പററി വ്യക്തമായ ധാരണ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല എന്നതാണു് വാസ്തവം. ഒട്ടൊക്കെ അറിഞ്ഞിരുന്നു എന്നല്ലാതെ ഇവ ഉപയോഗിച്ചു ക്രിയകള്഼ ചെയ്യേണ്ടവിധം ഒന്നും നിശ്ചയമില്ലാതിരുന്നതിനാല്഼ ആവണം അങ്കഗണിത~ ത്തില്഼ ഈ സംഖ്യകള്഼ ഉപയോഗിക്കാതിരുന്നതു്. അങ്കഗണിതത്തില്഼ ക്രിയ~ കള്഼ക്കാണല്ലോ പ്രാധാന്യം. തന്നെയുമല്ല ജ്യാമിതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടല്ല അദ്ദേഹത്തിന്഼റെ ജ്യാമതീയകൃതിയില്഼ ഇവ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതും. ഇതല്ലാതെ, 10-ാം ശതകത്തിലാണു് സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായം യൂറോപ്യന്഼ കൃതികളില്഼ കാണുന്നതു്. പിസായിലെ ലിയോണാഡോ ഫിബോനാച്ചി 1202 ല്഼ രചിച്ച `ലിബെര്഼ അബാച്ചി' 1228 ല്഼ പുനരാലേഖനം ചെയ്യപ്പെട്ടു. ഈ പുനരാലേഖിതകൃതിയില്഼ സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായം പ്രമുഖ~ മായ സ്ഥാനം പിടിച്ചുപററിയിട്ടുണ്ടു്. അലക്സാന്തര്഼ ദ് വില്ലാ ദീ (1240), ഹാലിഫാസ്കിലെ ജോണ്഼ (1250) തുടങ്ങിയവര്഼ ഇവയുടെ പ്രചാരണത്തിനു് മുന്഼കൈയെടുത്തു. എന്നിട്ടുപോലും, 17-ാം നൂററാണ്ടോടുകൂടി മാത്രമേ നിത്യോ~ പയോഗക്ഷമമകുംവിധമുളള പ്രചാരം നേടിയുളളു.

റാബിബെന്഼ എസ്രാ (1092-1167), മാക്സിമസ് പ്ലാഩൂഡ്സ് തുടങ്ങിയ ഗണിതജ്ഞര്഼ സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായത്തിന്഼റെ

-13-

ഭാരതീയത അംഗീകരിച്ചവരാണു്. അവര്഼ തങ്ങളുടെ കൃതികളില്഼ ഈ സ഼ന്പ്ര~ ദായം ഭാരതീയമാണെന്നു് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടു്. അല്഼ബീറുനിയം ഇക്കൂട്ടത്തി~ ലാണു്. "നാം (അറേബ്യയില്഼)ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യാപ്രതീകങ്ങള്഼ മഹത്തായ ഭാരതീയ പ്രതീകങ്ങളില്഼ നിന്നു് നിഷ്പാദിപ്പിക്കപ്പെട്ടവയാണു്" എന്നു് അല്഼ബീറൂനി പറയുന്നു.

ഭാരതത്തില്഼ 7-ാം ശതകം വരെയുളള കാലങ്ങളിലെ ശാസനങ്ങളിലും ലിഖി~ തങ്ങളിലും ഫലകങ്ങളിലും മാത്രമേ പഴയ രീതി കാണാനുളളു. 7-ാം ശതക~ ത്തോടുകൂടി പുതിയ രീതി രൂഢമൂലമായി. പെട്ടെന്നു തന്നെ അതു പടര്഼ന്നു വ്യാപകമായിത്തീര്഼ന്നു. 10-ാം ശതകത്തിനു ശേഷമുളള ഒരു രേഖയിലും പഴയ സന്പ്രദായം കാണാനേയില്ല.

പദസംഖ്യകളും അക്ഷരസംഖ്യകളും ഉടലെടുത്തതു് ഏ.ഡി.4-ാം ശതക~ ത്തിനുശേഷം മാത്രമാണു്. സ്ഥാനമൂല്യസന്പ്രദായം വ്യാപകമായ അംഗീകാരം നേടിയതിനു ശേഷം മാത്രമാണിതു്. മററു രാജ്യങ്ങളിലെപ്പോലെ സംഖ്യാ സന്പ്രദായത്തിനു മുന്പല്ല ഭാരതത്തിലെ അക്ഷരസംഖ്യകള്഼. ഓര്഼ത്തിരിക്കാന്഼ വേണ്ടി പ഼ദ്യരൂപേണ പ്രകാശിപ്പിക്കാനുളള സൌകര്യമാണു് അക്ഷരസംഖ്യകള്഼ ഉപയോഗിക്കാന്഼ ഭാരതീയരെ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്. അല്ലാതെ മററു രാജ്യങ്ങളിലെ~ പ്പോലെ അതു് സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൂര്഼വകാലകഥാരൂപമല്ല.

ബൃഹത്സംഖ്യകള്഼

പ്രാചീനകാലം മുതല്഼ തന്നെ ബൃഹത്സംഖ്യകള്഼ ഭാരതത്തില്഼ പ്രചാരത്തി~ ലിരുന്നു. `മിറിയഡി'നു് മുകളിലുളള സംഖ്യകള്഼ക്കൊന്നിനും ഗ്രീക്കു~ കാര്഼ക്കു് പേരുകളില്ലായിരുന്നു. റോമാക്കാര്഼ക്കാകട്ടെ, `മില്഼' എന്നതിനെക്കാള്഼ വലിയ സംഖ്യയെ പേരുചൊല്ലു വിളിക്കാന്഼ കഴിഞ്ഞില്ല. ഭാരതത്തിലെ സ്ഥിതി ഇതല്ല.

യജുര്഼വേദസംഹിതയിലും മൈത്രായണീസംഹിതയിലും തൈത്തരീയ സംഹിതയിലും ഏകം, ദശം, ശതം, സഹസ്രം, അയുതം, നിയുതം, പ്രയുതം, അര്഼ബുദം, ന്യര്഼ബുദം, സമുദ്രം, മധ്യം, അന്ത്യം പരാര്഼ധം എന്നി~ ങ്ങനെ പത്തിന്഼റെ ഘാതങ്ങളെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു. പഞ്ചവിംശബ്രാഹ്മണ~ ത്തില്഼, മുകളില്഼ പറഞ്ഞ രീതിയില്഼ ന്യര്഼ബുദം വരെ കാണുന്നുണ്ട്. #തുടര്഼ന്നുളള പേരുകള്഼ക്കു വ്യത്യാസമുണ്ട്. ന്യര്഼ബുദം കഴിഞ്ഞ് നിഖ഼ര്഼വം, വാദവം, അക്ഷിതി എന്നിങ്ങനെ പറഞ്ഞുപോകുന്നു. സംഖ്യായനശ്രൌതസൂത്രത്തിലാ~ കട്ടെ ന്യര്഼ബുദം കഴിഞ്ഞ് നിഖര്഼വം, സമുദ്രം, സലിലം, അന്ത്യം, അനന്തം എന്നാണു പോക്കു്.

രാവണന്഼റെ ചാരനായ ശുകന്഼ രാമസേനയുടെ വലിപ്പം രാവണനു വിവ~ രിച്ചുകൊടുക്കുന്ന ഒരു ഭാഗം വാല്മീകിരാമായണത്തിലുണ്ട് (യുദ്ധകാണ്ഡം).

-14-

ഒരു കോടി കഴിഞ്ഞു് 100 മടങ്ങുവീതം ഉയര്഼ന്ന സംഖ്യകള്഼ #പറഞ്ഞുകൊടു~ ക്കണം എന്നാവശ്യപ്പെട്ടുകൊണ്ടു തന്നെ സമീപിച്ച അര്഼ജുനന്഼ എന്ന ഗണിത~ ജ്ഞനു് ബോധിസത്വന്഼ അത്തരം സംഖ്യകള്഼ പറഞ്ഞുകൊടുക്കുന്നതായി `ലളിതവിസ്താര'ത്തിലുണ്ട്.

തുടര്഼ന്നുളള 100 മടങ്ങുകളുടെ പേരുകള്഼ ഉത്സംഗം, ബഹുലം, നാഗബലം, തിടി ലംഭം, വ്യവസ്ഥാനപ്രജ്ഞാപ്തി, ഹേതുഹില, കരഹു, ഹേത്വിന്ദ്രിയം, സമാപ്തലംഭം, ഗംഗാഗതി, തിരവദ്യം, മുദ്രാബലം, സര്഼വബലം, വിസംജ്ഞാഗതി, സര്഼വജ്ഞം, വിഭൂതംഗമം, തല്ലക്ഷണം എന്നിങ്ങനെയാണു്. അപ്പോള്഼, തല്ലക്ഷണം

`അനുയോഗദ്വാരസൂത്ര'ത്തില്഼ ശീര്഼ഷപ്രഹേളിക എന്ന സംഖ്യ കാണാം. ശീര്഼ഷപ്രഹേളിക= കാത്യായനന്഼റെ പാലിവ്യാകരണത്തില്഼ ഇതേ സംഖ്യ മറെറാരു പേരോടു കൂടി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു; അസംഖ്യേയും എന്ന പേരോടു കൂടി. അസംഖ്യേയം=

ശ്രീധരന്഼ 10 ന്഼റെ ഘാത഼ങ്ങളെ വിളിച്ചതു് ഏകം,ദശം, ശതം, സഹസ്രം, അയുതം, ലക്ഷം, പ്രയുതം, കോടി, അര്഼ബുദം, അബ്ജം, ഖര്഼വം, നിഖര്഼വം, മഹാസരോജം, ശങ്ക, സരിതാപതി, അന്ത്യം, മധ്യം, പരാര്഼ധം എന്നിങ്ങനെ~ യത്രേ. പരാര്഼ധം

മഹാവീരന്഼ ആകട്ടെ, ഏകം, ദശം, ശതം, സഹസ്രം, ദശസഹസ്രം, ലക്ഷം, ദശലക്ഷം, കോടി, ദശകോടി, ശതകോടി, അര്഼ബുദം, ന്യര്഼ബുദം, ഖര്഼വം, മഹാഖര്഼വം, പത്മം, മഹാപത്മം, ക്ഷോണി, മഹാക്ഷോണി എന്നീ പേരുക~ ളാണു് 10 ന്഼റെ ഘാതങ്ങള്഼ക്കു നല്഼കിയതു്. മഹാക്ഷോഭം

ഇടയ്ക്കുളള ചില സംഖ്യകള്഼ക്കു പലരും പല പേരുപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നു സാരം. ഭാരതത്തില്഼ സാര്഼വത്രികമായി പ്രചരിച്ചിരുന്ന സംഖ്യകള്഼ താഴെ~ പ്പറയുന്ന ലീലാവതിശ്ലോകം വ്യക്തമാക്കുന്നു.

-17-

3 അക്ഷരസംഖ്യകള്഼

ഭാരതീയഗണിതം പദ്യരൂപത്തിലാണു് പ്രതിപാദിക്കപ്പെട്ടിട്ടുളളതു്. ഓര്഼ത്തിരിക്കുവാനുളള സൌകര്യമാണു് പദ്യരൂപേണയുളള പ്രതിപാദനത്തിന്഼റെ മുഖ്യരഹസ്യം. പദ്യത്തില്഼ വൃത്തത്തിനു വിധേയമ഼ായി വേണമല്ലോ സംഖ്യ~ കള്഼ പറയുവാന്഼. ഇതിനായി ഗുണനവും സങ്കലനവും വ്യവകലനവും അന്തര്഼~ ഭവിച്ച പദങ്ങള്഼ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഈ ക്രിയകളെക്കുറിച്ചുളള പരിജ്ഞാനം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒന്നാണിതു്. ഉദാഹരണങ്ങള്഼ നോക്കാം. ദ്വിനവകം (2X9), ത്രിനവകം (3X9), നവവിംശതീ (20+9), അഷ്ട ത്രിംശതി (30+8), ഏകോനശതം (100-1), ഏകോനവിംശതി (20-1), സപ്തശതാനി വിംശതി (7X100+20=720)

ഇതൊന്നുമല്ലാതെ, ചില വിശേഷവിദ്യകളും അവര്഼഼പ്രയോഗിച്ചിരുന്നു. ഉദാഹരണമായിി 12345654321 എന്ന സംഖ്യയെ മഹാവീരന്഼ വിശേഷിപ്പിക്കു~ ന്നതു് "ഏകാദിഷ഼ഡന്താനി ക്രമേണ ഹീനാനി" എന്നാണു്-ഒന്നു മുതല്഼

-18-

ക്രമേണ വര്഼ധിച്ച് ആറു വരെയും പിന്നിട് ക്രമേണ കുറഞ്ഞ് ഒന്നു വരെയും എന്നു സാരം.

അക്ഷരസംഖ്യ

പലപ്പോഴും ഇത്തരം രീതികള്഼ ശ്രമകരമായിത്തീര്഼ന്നിരുന്നു. ഈ #വൈഷമ്യം തരണഁ ചെയ്യുകയായിരുന്നു അക്ഷരസംഖ്യകളുടെ മുഖ്യമായ ഉദ്ദേശ്യം. അക്ഷര~ സംഖ്യകള്഼ ഉപയോഗിച്ചാല്഼ വലിയ സംഖ്യകളെപ്പോലും ഏതാനും വാക്കുക~ ളില്഼ അഥവാ അക്ഷരങ്ങളില്഼ ഒതുക്കിനിര്഼ത്താന്഼ കഴിയും. തന്മൂലം അവ അനായാസേന ഓര്഼മിക്കുവാനും കഴിയും.

മൂന്നിനം അക്ഷരസംഖ്യകളാണു് എടുത്തുപറയാനുളളതു്-ഭൂതസംഖ്യാരീതി, ആര്യഭടീയരീതി, കടപയാദി അഥവാ പരല്഼പ്പേരു്. പൊതുവെ, അക്ഷര~ ങ്ങളെ സംഖ്യകളാക്കുന്പോള്഼ വലത്തുനിന്നു് ഇടത്തോട്ടാണു് വിന്യസിക്കേ~ ണ്ടതു്. അതായതു്, ആദ്യം വലത്തെ അററത്തെ (അവസാനത്തെ)അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യ എഴുതണം;അതിന്഼റെ വലതുവശത്തു് അവസാനത്തെ അക്ഷരത്തിനു തൊട്ടുമുന്പുളള അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യ എഴുതണം. ഇതാണു് ക്രമം. വാക്യം ഉരുവിടുന്പോള്഼ ആദ്യം ഉരുവിടുന്ന അക്ഷരം (പദ്യം) സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്കത്തിനു് (സംഖ്യയ്ക്ക്) ഉളള കവിടി ഒററയുടെ സ്ഥാനത്തു വയ്ക്കുക; രണ്ടാമത്തെ അക്ഷരം (ഭൂതസംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തില്഼ പദം) സൂചിപ്പി~ ക്കുന്ന അക്ഷരത്തിനുളള കവിടി പത്തിന്഼റെ സ്ഥാനത്തു വയ്ക്കുക; എന്നിങ്ങനെ~ യുളള ക്രമം പാലിച്ചു പോന്നതിനാല്഼ ആണു് വലത്തുനിന്നു് ഇടത്തോട്ടുളള ക്രമം സ്വീകരിച്ചതു്. "അങ്കാനാം വാമതോഗതി" എന്നത്രേ നിയമം.

ഭൂതസംഖ്യകള്഼

അക്ഷരസംഖ്യകള്഼ സന്പ്രദായങ്ങളില്഼ ഏററവും പഴയതു് ഈ രീതിയത്രേ. വാസ്തവത്തില്഼ ഇവ പദസംഖ്യകളാണു്, അക്ഷരസംഖ്യകളല്ല. അക്ഷര സംഖ്യാസന്പ്രദായത്തില്഼ ഒരക്ഷരത്തിനു് ഒരു സംഖ്യ എന്നാണു് പതിവ്. ഭൂതസംഖ്യാസന്പ്രദായത്തില്഼ ഒരു പദത്തിനു് ഒരു സംഖ്യ എന്നാണു നിയമം. അതിനാല്഼ ഈ രീതി, കൃത്യമായിപ്പറഞ്ഞാല്഼, പദസംഖ്യാരീതിയാണു്. എന്നാലും വ്യവഹാരസൌകര്യത്തിനു വേണ്ടി അക്ഷരസംഖ്യ എന്ന ഇനത്തില്഼~ ത്തന്നെ പെടുത്തുന്നു.

ജനങ്ങളില്഼ രൂഢമൂലമായിരുന്ന ചില വിശ്വാസങ്ങളാണു് ഈ സന്പ്രദായ~ ത്തിനു് ആധാരം. ശൂന്യാകാശം, ത്രിദോഷം, പഞ്ചബാണം, സപ്തശൈലം, അഷ്ടവസു, ദശാവത഼ാരം തുടങ്ങി പദങ്ങളെയും സംഖ്യകളെയും തമ്മില്഼ ബന്ധ~ പ്പെടുത്തുന്ന സന്പ്രദായം പ്രചുരപ്രചാരം നേടിയ ഒന്നായിരുന്നു. അതിനാല്഼ ആകാശം ശൂന്യത്തെയും ദോഷം 3 നെയും ബാണം 5 നെയും പര്഼വതം 7 നെയും വസു 8 നെയും അവതാരം 10 നെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കി. ഇവ഼യുടെ

-19-

പര്യാപദങ്ങളും ഇതേ സംഖ്യകളെത്തന്നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അക്കങ്ങളും അവയെ സൂപിച്ചിക്കാന്഼഼ ഭൂതസംഖ്യാപ്രകാരം ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന വാക്കുകളും താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

0 - ശൂന്യം, ഖം, ഗഗനം, ആകാശം, അഭ്രം, പൂര്഼ണം, രന്ധ്രം, വിഷ്ണു~ പദം, അംബരം, വിയത്, വ്യോമം, അന്തരീക്ഷം, നഭസ്സ് തുടങ്ങി~ യവ.

1 - ക, ഭ്ര, ശശി, ആദി, ഗോ, ഐരാവതം, ഉച്ചൈശ്രവസ്സ്, ഗണപതി~ യുടെ കൊന്പ്, ഇന്ദു, വിധു, കലാധരന്഼, ഹിമഗു, ശീതാംശു, പിതാ~ മഹന്഼, നായകന്഼, തനു തുടങ്ങിയവ.

2 - ലോചനം, അയനം, നയനം, ജാനു, യുഗണം, ദസ്രം, അശ്വി, യമന്഼, ചിറക്, കുചം, പുഴയുടെ കര, നേത്രം, അക്ഷി, ബാഹു, കരം, ദ്വയം, ദ്വന്ദ്വം, യുഗ്മം തുടങ്ങിയവ.

3 - ഗുണം, അഗ്നി, ഭുവനം, കാലം, രാമന്഼, പ഼ുരം, രത്നം, ലോകം, ദോഷം, മധു, മൂര്഼ത്തി, ശൂലം, ത്രിനേത്രം, വഹ്നി, പാവകന്഼ തുടങ്ങി~ യവ.

4 - വേദം, ശ്രുതി, സമുദ്രം, വര്഼ണം, ആശ്രമം, യുഗം, കേന്ദ്രം, തുര്യം, ബ്രഹ്മമുഖം, ഉപായം, പുരുഷാര്഼ഥം, ജാതി, ദേഹം, ഹരികരം, സേനാംഗം, സാഗരം, ബഩ്ധു, ഗതി തുടങ്ങിയവ.

5 - ബാണം, ശരം, ഇഷു, ഭൂതം, പര്഼വം, പ്രാണം, പവനന്഼, പാണ഼്ഡ~ വന്഼, വിഷയം, ഇന്ദ്രിയം, വ്രതം, കല്പകവൃക്ഷം, ലോഹം, അര്഼ഥം, മഹാഭൂതം, തത്വം, ഭാവം, രത്നം തുടങ്ങിയവ.

6 - രസം, രാഗം, ഋതു, ശാസ്ത്രം, തര്഼ക്കം, അംഗം, ദര്഼ശനം, ഷണ്മുഖന്഼, കാരകം, ദ്രവ്യം തുടങ്ങിയവ

7 - നഗം, അഗം, പര്഼വതം, ഭ്രഭൃത്, ഋഷി, മുനി, സ്വരം, ധാതു, അശ്വം, വ്യസനം, വാരം, ജ്വാല, ദ്വീപ്, ധീ, കളത്രം, പന്നഗം, ഭയം തുടങ്ങിയവ.

8- വസു, നാഗം, ഇഭം, ഗജം, സര്഼പ്പം, ദിഗ്ഗജം, ദിക്പാലന്഼, അംഗം, ഐശ്വര്യം, അഹി, സിന്ദൂരം, ഭൂതി, അനുഷ്ടുപ്പ്, മംഗളം തുടങ്ങി~ യവ.

9 - അങ്കം, നന്ദന്഼, നിധി, ഗ്രഹം, രന്ധ്രം, രത്നം, രസം, ദുര്഼ഗ, ധാന്യം തുടങ്ങിയവ.

10- ദിക്, ആശ, ദിശ, പംക്തി, അവതാരം, കാമാവസ്ഥ, അംഗുലി, കര്഼മം, രാവണശിരസ് തുടങ്ങിയവ.

-20-

11 - രുദ്രന്഼, ഭവന്഼, ഈശ്വരന്഼, അക്ഷൌഹിണി, ഹരന്഼ തുടങ്ങിയവ.

12 - രവി, ഇനന്഼, മാസം, രാശി തുടങ്ങിയവ.

13 - വ഼ിശ്വം, കാമന്഼, വിശ്വദേവന്഼, അതിജഗതി തുടങ്ങിയവ.

14 - മനു, ഇന്ദ്രന്഼, ലോകം, വിദ്യ, ശുക്രന്഼ തുടങ്ങിയവ

15 - തിഥി, പക്ഷം, ദിനം തുടങ്ങിയവ

16 - നൃപന്഼, അഷ്ടി തുടങ്ങിയവ

17 - അത്യഷ്ടി

18- ധൃതി, പുരാണം

19 - അതിധൃതി

20 - നഖം, കൃതി

21 - ഉല്഼കൃതി, പ്രകൃതി, സ്വര്഼ഗം തുടങ്ങിയവ

22 - കൃതി

23 - വികൃതി

24 - ജിനം, അര്഼ഹം, സിദ്ധം, ഗായത്രി തുടങ്ങിയവ

25 - തത്വം

26 - ഭം, ഉഡു, നക്ഷത്രം തുടങ്ങിയവ

32 - രതം, ദന്തം

33- സുരന്഼, ദേവന്഼

48- ജഗതി

49- താനം

ഇവിടെ 20 നും 22 നും കൃതിയെന്നുപയോഗിക്കുന്നതും മ഼ററും #ആശയക്കുഴപ്പ~ ത്തിനു കാരണമാകുന്നുണ്ട്.

ഓരോ സംഖ്യയ്ക്കും നിരവധി പദങ്ങള്഼ അംഗീകരിച്ചിട്ടുളളതു്, #പദ്യത്തിലെ വൃത്തത്തിനനുസൃതമായ പദങ്ങള്഼ സ്വീകരിക്കുന്നതില്഼ അനല്പമായ സ്വാതന്ത്ര്യം വേണം എന്നതിനാലാണു്.

ശതപഥബ്രാഹ്മണത്തിലും തൈത്തരീയബ്രാഹ്഼മണത്തിലും വേദാംഗജ്യോതി~ ഷത്തിലും മററും ഈ സന്പ്രദായം കാണാം. എന്നാല്഼ ഈ കൃതികള്഼ സ്ഥാന~ മൂല്യസന്പ്രദായം സ്വീകരിച്ചിരുന്നില്ല. സ്ഥാനമൂല്യം കൂടി പാലിച്ചുകൊണ്ടു് ആദ്യമായി ഈ സന്പ്രദായം കാണാന്഼ കഴിയുന്നതു് അഗ്നിപുരാണത്തിലാണു്. പുലിശസിദ്ധാന്തത്തില്഼ "ഖ ഖ അഷ്ട മുനി രാമ അശ്വി നേത്ര അഷ്ട ശരരാത്രിപഃ"

-21-

എന്നുണ്ട്. "അങ്കാനാം വാമതോഗതി" എന്ന നിയമപ്രകാരം ഇതു് 1,582, 237,800 ആണു് ഖ=O അഷ്ട = 8 മുനി=7 രാമന്഼=3 അശ്വി= 2 നേത്രം =2 ശരം =5 രാത്രിപന്഼ =1. ആദ്യത്തെ പദമായ ഖയുടെ അക്കം ഒററയുടെ സ്ഥാനത്തു്, രണ്ടാമത്തെ പദമായ ഖയുടെ അക്കം പത്തിന്഼റെ സ്ഥാനത്തു്, മൂന്നാമത്തെ പദമായ അഷ്ടയുടെ അക്കം നൂറിന്഼റെ സ്ഥാനത്തു് എന്നതാണല്ലോ, "അങ്കാനാം വാമതോഗതി", "പഞ്ച പഞ്ചയുഗ ഷ്ടകലോചന ദ്വ്യബ്ദിഷ്ഡ്ഗുണമിത" യുഗം=4 ലോചനം= 2 അബ്ദി=4 ഗുണം =3

ആര്യഭടീയരീതി

വലിയ സംഖ്യകളെപ്പോലും വളരെക്കുറച്ചക്ഷരങ്ങള്഼ കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കു~ വാന്഼ ആര്യഭടനു കഴിഞ്ഞു. പലപ്പോഴും രണ്ടോ മൂന്നോ അക്ഷരം മാത്രമുളള #പദ~ ങ്ങള്഼ കൊണ്ടു് അദ്ദേഹം കാര്യം സാധിച്ചു. ഇതര രീതികളെ അപേക്ഷിച്ചു് അതിഹ്രസ്വപദങ്ങള്഼ കൊണ്ടു് അതിബൃഹത് സംഖ്യകളെപ്പോലും കുറിക്കു~ വാന്഼ ഈ രീതിക്കു കഴിയുന്നു എന്നതാണു് അതിന്഼റെ നേട്ടം. തന്഼റെ കൃതി~ യുടെ വലിപ്പം ആവുന്നത്ര കുറഞ്ഞിരിക്കണം, അതിനാല്഼ സംഖ്യകള്഼ വലിച്ചു നീട്ടിപ്പറയാന്഼ പററില്ല എന്ന നിഷ്കര്഼ഷയും ഈ രീതി ആവിഷ്കരിച്ച~ പ്പോള്഼ ആര്യഭടന്഼റെ മനസ്സിലുണ്ടായിരുന്നിരിക്കണം. മററു ഭാരതീയ ഗണിത~ ജ്ഞന്മാരാരും തന്നെ ഈ രീതി അനുവര്഼ത്തിക്കുയുണ്ടായില്ല.

എന്നാണു് ആര്യഭടന്഼ ഗീതികാപാദത്തില്഼ (ശ്്ളോകം 2) നല്഼കുന്ന നിയമം. വര്഼ഗാക്ഷരങ്ങളെ വര്഼ഗസ്ഥാനങ്ങളിലും അവര്഼ഗാക്ഷരങ്ങളെ അവര്഼ഗസ്ഥാന~ ങ്ങളിലും വിന്യസിക്കണം. `ക' മുതല്഼ `മ' വരെയുളള അക്ഷരങ്ങളാണു് വര്഼ഗാക്ഷരങ്ങള്഼. ഇവയ്ക്കു് യഥാക്രമം 1 മുതല്഼ 25 വരെയുളള വിലകള്഼ കല്പിച്ചിരിക്കുന്നു. `യ' മുതല്഼഼`ഹ'വരെയുളളവയാണു് അവര്഼ഗാക്ഷരങ്ങള്഼. യ,ര,ല,വ,ശ,ഷ,സ,ഹ എന്നീ അവര്഼ഗാക്ഷരങ്ങള്഼ക്കു് കല്പിച്ചിരി~ ക്കുന്ന വില യഥാക്രമം 30,40,50,60,70,80,90,100 എന്നിവയാണു്.

-23-

പരല്഼പ്പേരു്

കേരളീയമായ ഒരു സന്പ്രദായമാണിതു്. കടപയാദി എന്നും പറയുന്നു. ആര്യഭടീയ രീതി ആധാരമായാകണം ഈ സന്പ്രദായം ഉടലെടുത്തതു് ആദ്യത്തെ വരിയില്഼ അക്കങ്ങളും, അക്കങ്ങള്഼ക്കു നേരേ താഴെ അവയെ കുറിക്കുന്ന #അക്ഷര~ ങ്ങളും കൊടുക്കുന്നു.

ചില്ലുകള്഼ക്കു് അക്കമൊന്നും നല്഼കേണ്ടതില്ല. കൂട്ടക്ഷരങ്ങള്഼ക്കു് #അക്കമിടു~ ന്പോള്഼, കൂട്ടക്ഷരത്തിന്഼റെ തന്നെ ഭാഗമായി അതിന്഼റെ അവസാനമുളള വ്യഞ്ജനം കുറിക്കുന്ന അക്കം എഴുതണം; എല്ലാ സ്വരങ്ങളും പൂജ്യത്തെ കുറിക്കും. #അങ്ങനെ 1 മുതല്഼ 5 വരെയുുളള അക്കങ്ങളെ കുറിക്കാന്഼ 4 അക്ഷരം വീതവും, 6 മുതല്഼ 9 വരെയുളള അക്കങ്ങളെ കുറിക്കാന്഼ 3 അക്ഷരം വീതവും പൂജ്യത്തെ കുറിക്കാന്഼ 20 അക്ഷരവും (16 സ്വരവും 4 വ്യഞ്ജനവും) ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. ഒന്നിനെ കുറി~ ക്കുന്ന 4 അക്ഷരം ചേര്഼ത്തു് ഈ സന്പ്രദായത്തിനു് കടപയാദി എന്നു #പേരുവന്നു. ഴയും റയും പൂജ്യത്തെകുറിക്കുന്നു. എന്നാല്഼ ശ്ര തുടങ്ങിയ #കൂട്ടക്ഷരത്തിന്഼റെ ഭാഗ~ മായി ഉച്ചരിക്കപ്പെടുന്ന റയുടെ വില രയുടെ വിലയായ രണ്ടാണു്. ഉദാഹ~ രണങ്ങള്഼കൊണ്ടു വിശദമാക്കാം.

-24-

കൊല്ലവര്഼ഷത്തോടു തരളാംഗം (3926) കൂട്ടിയാല്഼ കലിവര്഼ഷസംഖ്യകിട്ടും. ബി.സി.3102 ഫെബ്രുവരി 17 നും 18 നും ഇടയില്഼ ഉജ്ജയിനിയിലെ മെറി~ ഡിയനില്഼ അര്഼ധരാത്രി വന്നപ്പോഴാണു് കലിവര്഼ഷാരംഭം (ഫെബ്രുവരി 13 നു് ആണു് എന്നും പക്ഷമുണ്ടു്). സാധാരണയായി കലിവര്഼ഷം ദിവസങ്ങ~ ളെന്ന രൂപേണയാണു് സൂചിപ്പിക്കാറു്. ഈ ദിവസസംഖ്യയോടു് 2 കൂട്ടി 365,2587565 കൊണ്ടു് ഹരിച്ചാല്഼ കല്യബ്ദം കിട്ടും. (സാധാരണ രീതിയില്഼,

-25-

365.25 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്഼ മതി). ഉദാഹരണം ഩോക്കാം. കൊല്ലവര്഼ഷം 41 മിഥുനം 25 ലെ സൂര്യഗ്രഹണം (എ.ഡി.866 ജൂണ്഼ 16) കുറിച്ചിട്ടുളളതു്. "അംഗര്഼ത്വംബരനന്ദവേദമനുദിര്഼യാതേ ദിനാനാംഗണേ" എന്നാണു് (കടപ~ യാദി അല്ല ഭൂതസംഖ്യകളാണു്). അതായതു് 1449066. ഇതിനെ ഹരിക്കു~ ന്പോള്഼, ഹരണഫലം 3967 ശിഷ്ടം 86. മേടമാസം 1 മുതലുളള ദിവസസംഖ്യയെ~ യാണു് ശിഷ്ടമായ 86 സൂചിപ്പിക്കുന്നതു്. അപ്പോള്഼ മിഥുനം 24 വരും.

അതല്ലെങ്കില്഼, കലിദിനസംഖ്യയെ "തത്സമ" (576) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് "ധീജഗം നൂപുര" (210389) കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. കലിവര്഼ഷസംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു. കഴിഞ്ഞ മീനമാസാന്ത്യത്തിലെ കൊല്ലവര്഼ഷസംഖ്യയോടു് "തരളാംഗം" (3926) കൂട്ടിയാലും ശകവര്഼ഷസംഖ്യയോടു് "ധീസ്ഥകാലം" (31.9) കൂട്ടി~ യാലും കലിവര്഼ഷം കിട്ടും. ശകവര്഼ഷം നിര്഼ണയിക്കാനായി കൊല്ലവര്഼ഷ~ ത്തോടു് "സഭാസ്ഥാനം" (747) കൂട്ടുകയാണു് വേണ്ടതു്.

"നാരായണീയം" പൂര്഼ത്തിയാക്കിയ കലിദിനസംഖ്യയാണല്ലോ "ആയുരാ~ രോഗ്യസൌഖ്യം" (1712210). കലിവര്഼ഷം 4687 വര്഼ഷം 9 മാസം. ഇതില്഼ നിന്നു് 3926 കുറച്ചാല്഼ കൊല്ലവര്഼ഷം കിട്ടും. കൊല്ലവര്഼ഷം 761. അധ്യാത്മമ രാമായണം മൂലം ഉത്തരദേശത്തു നിന്നു് ഒരു വിരാഗിബ്രാഹ്മണന്഼ കൊണ്ടു വന്നതു് "പവിത്രഃകരഃസൂര്യ" (1721241) എന്ന ദിവസമാണു്. കൊല്ല വര്഼ഷം 787. തന്ത്രസമുച്ചയ കര്഼്ത്താവായ ചേന്നാസ് നാരായണന്഼ നന്പൂതിരി~ യുടെ ജനനം "നന്ദയനേഷ്വഭോധി" (94401080. കലിവര്഼ഷം 4529). ഉളളൂരിന്഼റെ ചരമദിനത്തെ പി.വി.കൃഷ്ണവാരിയര്഼ കുറിച്ചതു് "ദിവ്യം തവവിജയം" (1844618, 1949 ജൂണ്഼ 15 അഥവാ 1124 മിഥുനം) എന്നാണു്.

കേരളത്തില്഼ മാത്രം, അതും ഗ്രന്ഥങ്ങളിലെ പേജുകള്഼ക്കു് #(ഏടുകള്഼ക്കു്) എണ്ണം കുറിക്കാനായി മാത്രം, ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന ഒരു സന്പ്രദായത്തെക്കുറിച്ചു് പി.കെ.കോരു തന്഼റെ ലീലാവതീവ്യാഖ്യാനത്തില്഼ പറയുന്നുണ്ടു്. അതനു~ സരിച്ചു്

ഇതിനെല്ലാം പുറമേ ജൈനസാഹിത്യത്തില്഼ "അക്ഷരപല്ലി" എന്നു് മറെറാരു സന്പ്രദായവും ഉളളതായി കേട്ടിട്ടുണ്ടു്.

-26-

4

ശൂല്഼വസൂത്രങ്ങള്഼

ഗ്രീക്കു് ഗണിതജ്ഞന്മാര്഼ മുഖ്യമായും ജ്യാമിതിയിലാണു് ശ്രദ്ധ #കേന്ദ്രീകരി~ ച്ചതു്. ഭാരതീയരാകട്ടെ ബീജഗണിതത്തിലും ജ്യോതിഃശാസ്ത്രത്തിലും ആഭിമുഖ്യം പ്രദര്഼ശിപ്പിച്ചു. ജ്യോതിഃശാസ്ത്രപഠ഼നത്തിനു് സഹായകമായ ജ്യാമിതിയില്഼ മാത്രമേ അവര്഼ക്കു് ശ്രദ്ധയുണ്ടായിരുന്നുളളു എന്നു പറയാം. എന്നാല്഼ ധാന്യശേഖരങ്ങളുടെയും മററും അളവുകളെ സംബന്ധിച്ചും മററും അഥവാ ക്ഷേത്രഫലവും വ്യാപ്തവും ബന്ധപ്പെട്ട കാര്യങ്ങളും നിര്഼ണയിക്കു~ ന്നതിലും മററും അവര്഼ തല്പരര്഼ ആയിരുന്നു. അതുപോലെ തന്നെ ബീജഗണി~ തത്തിലെ ചില തത്വങ്ങള്഼ വിശദീകരിക്കുവാനും അവര്഼ ജ്യാമിതിയുടെ സഹായം തേടിയിരുന്നു. ഈ നിലയിലൊക്കെ മാത്രമേ ജ്യാമിതിയില്഼ അവര്഼ വ്യാപരിച്ചിരുന്നുളളു. ബീജഗണിതത്തിലും ജ്യോതിഃശാസ്ത്രത്തിലും എന്നുപോലെ ഉന്നതമായ നിലവാരം ഭാരതീയര്഼ക്കു് ജ്യാമിതിയില്഼ ഉണ്ടാ~ യിരുന്നില്ല എന്നു സാരം.

ഭാരതീയജ്യാമിതിയിലെ ആദ്യത്തെ കണ്ണികളാണു് ശുല്഼ വ (ബ) സൂത്ര~ ങ്ങള്഼. ശൂല്഼വം എന്ന പദം ശുല്഼വ് (ബ്) എന്ന ധാതുവില്഼ #നിന്നാണു്- അളക്കുക എന്നര്഼ഥമുളള ഒരു ധാതു. ശുല്഼വം (ബം) എന്നാല്഼ കയര്഼, ചരടു്, നൂല്഼ എന്നൊക്കെ അര്഼ഥം. ചരടുപിടിച്ചളക്കുന്ന ഗണിതമായതിനാലാണു് ഈ പേരു്. എന്നാല്഼ ശുല്഼വകാരന്മാര്഼ ആരും തന്നെ "ശുല്഼വം" എന്ന #പേരു് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല എന്നതാണു് രസകരമായ വസ്തുത. "രജ്ജു" എന്ന പേരാണു് അവര്഼ ഉപയോഗിച്ചതു്. " രജ്ജസമാസം വക്ഷ്യാമഃ" എന്നാണു് കാത്യായനശുല്഼വസൂത്രത്തിന്഼റെ തുടക്കം തന്നെ. എന്നാല്഼ കാത്യയനശുല്഼വ സൂത്രത്തിന്഼റെ അനുബന്ധത്തില്഼ ശുല്഼വം എന്നു പ്രയോഗമുണ്ടു്. അങ്ങനെ ശുല്഼വസൂത്രകാരന്മാര്഼ പ്രയോഗിക്കാത്ത ഒരു പേരോടുകൂടി അവര്഼ വിഖ്യാത~ രായി. "രേഖാഗണിതം" എന്നാണു് പില്഼ക്കാലഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്഼ ജ്യാമിതിക്കു നല്഼കിയ പേരു്.

-27-

യാഗവേദി

യാഗവേദികളുടെ രൂപം, നിര്഼മാണം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണു് ശുല്഼വസൂത്രത്തിലെ ജ്യാമിതി. യജുര്഼വേദത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ട #ശ്രൌതസൂത്രങ്ങ~ ളുടെ ഭാഗങ്ങളാണു് മിക്ക ശുല്഼വസൂത്രങ്ങളും. യാഗകര്഼മാദികളാണല്ലോ #യജുര്഼~ വേദത്തിലെ പ്രതിപാദ്യം. എന്നാല്഼, ബൌധായനന്഼, ആപസ്തംബന്഼, കാത്യാ~ യനന്഼, മാനവന്഼ എന്നിവരുടെ ശുല്഼വസൂത്രങ്ങള്഼ പ്രത്യേക ചര്഼ച്ചകളാണു്. മററുളളവയെല്ലാം യജുര്഼വേദത്തിന്഼റെ ഭാഗങ്ങളാണു്. ലൌഗാക്ഷി, മാനവന്഼, വരാഹന്഼, ബൌധായനന്഼, വാധുലന്഼, ആപസ്തംബന്഼, ഹിരണ്യകേശി, കാത്യായനന്഼, മൈത്രായണന്഼ എന്നിങ്ങനെ 9 ശുല്഼വകാരന്മാരുണ്ടു്. കാത്യായ~ നന്഼റെ സൂത്രങ്ങള്഼ ശുക്ലയജുര്഼വേദത്തിന്഼റെയും മററുളളവ #കൃഷ്ണയജുര്഼വേദത്തി~ ന്഼റെയും ഭാഗങ്ങളാണു്. ഗണിതപരമായ പ്രാധാന്യം ഏറിനില്഼ക്കുന്നതു് ബൌധായനന്഼, ആപസ്തംബന്഼, കാത്യായനന്഼ എന്നിവരുടെ സൂത്രങ്ങളിലാണു്.

ബ്രാഹ്മണങ്ങളുടെയും സംഹിതകളുടെയും കാലമായപ്പോഴേക്കും വളരെയേറെ കൃത്യതയോടെ യാഗവേദികളും അഗ്നിവേദികളും നിര്഼മിക്കുക സര്഼വസാധാ~ രണമായിക്കഴിഞ്ഞിരുന്നു. ശതപഥബ്രാഹ്മണവും തൈത്തിരീയസംഹിതയും ഒക്കെ ഇതിനു സാക്ഷ്യം വഹിക്കുന്നു. ശുല്഼വസൂത്രങ്ങളിലെ ഭാഷയും മററും പരിശോധിച്ചു് പാണിനിക്കു മുന്പാണു് ഇവയുടെ കാലമെന്നു് ബുര്഼ക്കു് ബൂളര്഼ തുടങ്ങിയ പണ്ഡിതന്മാര്഼ പറയുന്നു. അങ്ങനെ~ യൊക്കെ പാശ്ചാത്യപണ്ഡിതന്മാരും മിക്ക പൌരസ്ത്യപണ്ഡിതന്മാരും ഈ അഭിപ്രായക്കാരാണു്. താന്താങ്ങളുടെ കാലഘട്ടംവരെ നിലവിലിരുന്ന പ്രമാണങ്ങളെ ക്രോഡീകരിക്കുക മാത്രമാണു് ഓരോ ശുല്഼വസൂത്രകാരനും ചെയ്തിട്ടുളളതു്. നിയമങ്ങള്഼ ആവിഷ്കരിക്കുകയും അനുശാസിക്കുകയും ആയി~ രുന്നില്ല അവര്഼ ചെയ്തതു്. അതിനാല്഼ യഥാര്഼ഥത്തില്഼ ഇവയില്഼ പ്രതിപാദി~ തമായ ഗണിതം ബി.സി.800-500 കാലഘട്ടത്തിനു മുന്പുതന്നെ ഉടലെടുത്ത ആശയങ്ങളാണു്. ശുല്഼വസൂത്രങ്ങള്഼ വിരചിതങ്ങളാകുംമുന്പുതന്നെ ഇവയില്഼ പറഞ്ഞിട്ടുളള ഗണിതാശയങ്ങള്഼ മിക്കതും ഭാരതീയര്഼ അറിഞ്ഞിരുന്നു എന്നു സാരം.

ഇവയില്഼ ഏററവ഼ും ബൃഹത്തും പുരാതനവും ബൌധായനശുല്഼വസൂത്രമാണു്. 3 അധ്യായങ്ങളും 525 സൂത്രങ്ങളും ഇതിലുണ്ടു്. ഒന്നാം അധ്യായത്തില്഼ 116 സൂത്രങ്ങളാണുളളതു്. ഇതില്഼ യാഗവേദികളുടെ ആപേക്ഷികസ്ഥാനങ്ങളും അവയുടെ അളവുകളും അവ നിര്഼മിക്കുന്നതിനാവശ്യമായ ജ്യാമിതീയ പ്രമേയ~ ങ്ങളും കാണാം. 86 സൂത്രങ്ങളുളള രണ്ടാം അധ്യായത്തിലെ പ്രതിപാദ്യം വിവിധയിനം അഗ്നിവേദികളും അവയുടെ വലിപ്പവുമാണു്. 323 ശ്ലോക~ ങ്ങളുളള മൂന്നാം അധ്യായത്തിലാകട്ടെ, പ്രത്യേക ഉദ്ദേശ്യലബ്ധിക്കായി ചെയ്യുന്ന കാമ്യാഗ്നിവേദികളുടെ പ്ലാനുകള്഼ കാണാം.

-28-

മാനവശുല്഼വസൂത്രം ചെറുതാണു്. എന്നാല്഼ മററു ഗ്രന്ഥങ്ങളില്഼ #ക഼ാണാത്ത വളരെയേറെ യാഗവേദികളെക്കുറിച്ചു് ഇതില്഼ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ടു്. 6 അധ്യായ~ ങ്ങളിലായി 223 സൂത്രങ്ങള്഼ ആപസ്തംബശുല്഼വസൂത്രത്തിലുണ്ടു്. 6 #അധ്യായങ്ങ~ ളിലായി 102 സ഼ൂത്രങ്ങള്഼ ഉളള ഒരു ലഘുഗ്രന്ഥമാണു് കാത്യായനശുല്഼വസൂത്രം. "കാട്യശുല്഼വപരിശിഷ്ടം" എന്നും ഇതിനു പറയാറുണ്ടു്. സംക്ഷിപ്തവും ക്രമ നിബദ്ധവും ആണു് കാത്യായനന്഼റെ പ്രതിപാദ഼നം. മററു ശുല്഼വസൂത്രങ്ങള്഼ താരതമ്യേന ചെറിയവയാണു്. ഹിരണ്യകേശിയുടെ കൃതി ഇപ്പോള്഼ ലഭ്യമ഼ല്ലതാനും.

ജ്യാമിതീയപ്രശ്നം

യാഗവേദികളുടെയും അഗ്നിവേദികളുടെയും ആകൃതിയും ക്ഷേത്രഫലവും വളരെ കൃത്യമമായിരിക്കേണ്ടതുണ്ടു്. യാഗത്തില്഼ മന്ത്രങ്ങളുടെ ഉച്ചാരണത്തിലെ കൃത്യത പാലിക്കേണ്ട അതേ പ്രാധാന്യം ഈ രൂപങ്ങളുടെയും അവയുടെ ക്ഷേത്ര~ ഫലങ്ങളുടെയും കാര്യത്തിലും ഉണ്ടായിരുന്നു. അഗ്നി തന്നെ മൂന്നുതരമാണു്. ഗാര്഼ഹപത്യം, ആഹവനീയം, ദക്ഷിണം, ഉദ്ദിഷ്ട കാര്യസാധ്യത്തിനു വേണ്ടി നടത്തുന്ന യാഗങ്ങളിലെ അഗ്നിക്കാണു് "കാമ്യാഗ്നി" എന്നു പറയുന്നതു്. യാഗത്തിന്഼റെ ലക്ഷ്യം അനുസരിച്ചാണു് കാമ്യാഗ്നീവേദികളുടെ ആക഼ൃതി. സ്വര്഼ഗപ്രാപ്തി ലക്ഷ്യമാക്കിയാണു് യാഗമെങ്കില്഼ ശ്യേനചിത്വേദിവേണം; കഴുകന്഼റെ ആകൃതിയാണിതിനു്. ശത്രുക്കളുടെ ഉന്മൂലനാശമാണു് യാഗലക്ഷണ~ മെങ്കില്഼ പ്രൌഗചിത്വേദിയാണു് അതിനു വേണ്ടതു്. സമദ്വിഭുജത്രികോണാ~ കാരമാണു് ഈ വേദിക്കു്. ഉഭയതഃപ്രൌഗ (സമചതുര്഼ഭുജം), രഥചക്രം, ദ്രോണി (തൊട്ടി),ശ്മശാനം, വക്രപക്ഷവ്യസ്തപുച്ഛശ്യേനചിത് (വളഞ്ഞ

-29-

ചിറകുകളോടും പരത്തിയ വാലോടും കൂടിയ കഴുവന്഼), ചതുരശ്രശ്യേഩചിത് എന്നിവയൊക്കെയാണു് വേദികളുടെ ആകൃതി. ഇവയുടെയെല്ലാം ക്ഷേത്രഫലം മിക്കപ്പോഴും ഏഴര ചതുരശ്രപുരുഷം അഥവാ ചതുരശ്രവ്യാമം (വ്യായാമം) ആയിരിക്കണം. അല്ലെങ്കില്഼ ഈ സംഖ്യയുടെ മടങ്ങുകള്഼ ആയിരിക്കണം.

ഇതു് നിര്഼ബന്ധമുളള കാര്യമാണു്. ഒരു പുരുഷം അഥവാ വ്യാമം അഥവാ വ്യായാമം ഏതാണ്ടു് 96 ഇഞ്ച് (ഉദ്ദേശം രണ്ടരമീററര്഼) വരും- ഒരു #പുരുഷന്഼റെ ഉയരം. അതാണു് പുരുഷം എന്ന പേരിനുതനന്നെ കാരണം. അപ്പോള്഼ ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തെ തുല്യവിസ്തീര്഼ണമുളള (അഥവാ n മടങ്ങു വിസ്തീര്഼ണമുളള) മറെറാരു ജ്യാമിതീയരൂപമായി മാറേറണ്ട പ്രശ്നം ആവിര്഼ഭവിക്കുന്നു. ഇതാണു് ശുല്഼വസൂത്രങ്ങളില്഼ അന്തര്഼ഭവിച്ചിട്ടുളള മറെറാരു #ജ്യാമിതീയപ്രശ്നം. അതുപോലെതന്നെ ഉദ്ദിഷ്ടലക്ഷ്യം സാധിക്കാന്഼വേണ്ടി ഒരേ ൟാഗം തന്നെ പലതവണ ആവര്഼ത്തിക്കാറുണ്ടായിരുന്നു. 101 അശ്വമേധം നടത്തിയ രാജാവ് എന്നെല്ലാം കേട്ടിട്ടില്ലേ? യാഗം ഓരോ തവണ ആവര്഼ത്തിക്കുന്പോഴും യാഗ~ വേദിയുടെയും അഗ്നിവേദിയുടെയും ക്ഷേത്രഫലം നിശ്ചിതമായ ഒരു കണക്ക~ നുസരിച്ചു് വര്഼ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടായിരുന്നു. "വിധാഭ്യാസം" എന്നു് ഇതിനു് പേരു്. ഈ വര്഼ധനവ് നേടിയെടുക്കാന്഼ ഓരോ ഭാഗത്തിന്഼റെയും വലിപ്പം (ഭുജത്തിന്഼റെ നീളം, കോണിന്഼റെ അളവ് തുടങ്ങിയവ) എത്രമാത്രം കൂട്ടണം എന്നു നിശ്ചയിക്കലാണു് മറെറാരു ഗണിതപ്രശ്നം.

ചതുര്഼ഭുജത്തിനു് "ചതുരശ്രം" എന്ന പേര്഼ അവര്഼ ഉപയോഗിച്ചു. സമ~ ചതുരശ്രമം സമചതുരത്തെയും ദീര്഼ഘചതുരശ്രം ദീര്഼ഘചതുരത്തെയും കുറിക്കുന്നു. സമദ്വിഭുജട്രപീസിയം സൂചിപ്പിക്കാനുളള സംജ്ഞകള്഼ "പുരസ്താദ് അംഹിയസി"എന്നും "ഏകതോണിമത്" എന്നും ആണു്. സമ~ ചതുര്഼ഭുജത്തിനു് "ഉഭയതഃപ്രൌഗ" (രണ്ടു സമദ്വിഭുജത്രികോണം ചേര്഼ന്നതു് എന്നര്഼ഥം) എന്നു പറഞ്ഞു. സമചതുരത്തിന്഼റെ വികര്഼ണത്തിനു് "അക്ഷ്ണ~ യാരജ്ജു" എന്നും "അക്ഷ്ണയാ" എന്നും "കര്഼ണം" എന്നും പറയുന്നുണ്ടു്. സമചതുരത്തിന്഼റെ ഭുജങ്ങളെ "തിര്യണ്മാണി" എന്നും "പാര്഼ശ്വമാണി" എന്നും

-30-

വിളിച്ചു. "പ്രൌഗ" എന്നു പറഞ്ഞാല്഼ സമദ്വിഭുജത്രികോണം അഥവാ ത്രികോണം. ശുല്഼വകാരന്മാര്഼ സമദ്വിഭുജത്രികോണം എന്നയിനം ത്രികോണ~ ങ്ങള്഼ മാത്രമേ പരിഗണിച്ചിരുന്നുളളു. ത്രികോണത്തിന്഼റെ ഉന്നതിയെ കുറി~ ക്കാന്഼ കാത്യായനന്഼ "ഇഷ഼ു഼" എന്ന പദം ഉപയോഗിച്ചു. കാത്യായനന്഼ മാത്രമേ ഈ സംജ്ഞ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുളളു. വൃത്തത്തിനു് "മണ്ഡലം" എന്നും "പരി~ മണ്ഡലം" എന്നും പറഞ്ഞിരുന്നു. വൃത്തത്തിന്഼റെ വ്യാസമാണു് "വിഷ്കംഭം". ജ്യാമിതീയരൂപത്തിനും അതിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിനും "ക്ഷേത്രം" എന്ന സംജ്ഞ ഉപയോഗിച്ചു. ഉദാഹരണമായി "ചതുരശ്രക്ഷേത്രം" എന്നു പറയു~ ന്പോള്഼ സമചതുരരൂപമോ സമചതുരത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലമോ ആകാം വിവക്ഷ

-31-

പിഥഗോറസ്പ്രമേയം എന്ന പേരില്഼ ഇന്നു് വിഖ്യാതമായ ഫലം അവര്഼~ ക്കറിയാമായിരുന്നു. പ്രാചീനസംസ്കാരം നിലനിന്നിരുന്ന രാഷ്ട്രങ്ങള്഼ക്കെല്ലാം ഈ ഫലം അറിയാമായിരുന്നു എന്നതാണു് വസ്തുത. ചൈനയിലും ബാബി~ ലോണിയയിലും പിഥഗോറസിനു മുന്പുളള ഗ്രീസിലും ഈജിപ്തിലും എല്ലാം ഇതിനു തെളിവുകളുണ്ടു്. ഒരു സമ (മട്ട) കോണത്രികോണ഼ത്തിലെ കര്഼ണ വര്഼ഗവും ഇതരഭുജങ്ങളുടെ വര്഼ഗങ്ങളുടെ തുകയും തുല്്യമാണു് എന്നാണു് പിഥഗോറസ് പ്രമേയത്തിന്഼റെ സാരാംശം. ഇതിന്഼റെ ഉപപത്തി എന്തെന്നു് ശുല്഼വകാരന്മാര്഼ പറഞ്ഞിട്ടില്ലെങ്കിലും, അവര്഼ക്കു് ഉപപത്തി #അറിയാമായി~ രുന്നു എന്നു തന്നെ വേണം കരുതാന്഼. ഉപപത്തികള്഼ തങ്ങളുടെ കൃതികളില്഼ പ്രതിപാദിക്കുക എന്നതു് ഭാരതീയ ഗണിതകാരന്മാരുടെ സ്വഭാവമല്ല. വാസ്ത~ വത്തില്഼ പിഥഗോറസിന്഼റെ കാലം കഴിഞ്ഞു് 500 ഓളം വര്഼ഷങ്ങള്഼ക്കു ശേഷ~ മാണു് പ്രസ്തുത പ്രമേയത്തിന്഼റെ കര്഼തൃത്വം പിഥഗോറസില്഼ വന്നു പതിക്കു~ ന്നതുതന്നെ. ഏതായാലും പിഥഗോറസ് ഭാഗ്യവാനാണു്. മററു പലരും ഉപയോഗിക്കുകയും തെളിയിക്കുകയും ചെയ്ത ഒരു ഫലം അദ്ദേഹത്തിന്഼റെ പേരില്഼ വിഖ്യാതമായിത്തീര്഼ന്നു. പ്രസ്തുത പ്രമേൟത്തിനു വിധേയമായ 3 സംഖ്യകളെ "പിഥഗോറിയന്഼ സംഖ്യകള്഼" എന്നാണു ഇന്നു പറയുക. ശുല്഼വസൂത്രങ്ങളില്഼ താഴെപ്പറയുന്ന ഭുജങ്ങളുളള സമകോണത്രികോണങ്ങളെ~ പ്പററി പരാമര്഼ശങ്ങളുണ്ടു്.

യഥാര്഼ഥത്തില്഼ ത്രികോണത്തോടു ബന്ധപ്പെടുത്തിയല്ല ശുല്഼വകാരന്മാര്഼ പിഥഗോറസ് പ്രമേയം പ്രസ്താവിക്കുന്നതു്. സമചതുരത്തിന്഼റെയും ദീര്഼ഘ ചതുരത്തിന്഼റെയും വികര്഼ണത്തോടു ബന്ധപ്പെടുത്തിയാണു് അവരുടെ പ്രസ്താ~ വന. "ദീര്഼ഘചതുരത്തിന്഼റെ വികര്഼ണം നല്഼കുന്ന ക്ഷേത്രഫലം, അതിന്഼റെ നീളവും വീതിയും നല്഼കുന്ന ക്ഷേത്രഫലങ്ങളുടെ തുകയോടു് തുല്യമായിരിക്കും." "സമചതുരത്തിന്഼റെ വികര്഼ണത്തിലെ ക്ഷേത്രഫലം, അതിന്഼റെ ഒരു ഭുജത്തിലെ ക്ഷേത്രഫലത്തിന്഼റെ ഇരട്ടി ആയിരിക്കും". ഇപ്രകാരമാണു് അവര്഼ പറഞ്ഞി~ ട്ടുളളതു്.

-32-

"ദീര്഼ഘചതുരശ്രസ്യാ ക്ഷ്ണയാ രജ്ജുഃപാര്഼ശ്വമാനീ തിര്യങ്മാനി ച~ യത് പൃഥഗ്ഭൂതേ കുരുതസ്തദുഭയം കരോതി" എന്നും "ചതുരശ്രസ്യാക്ഷ്ണയാരജ്ജുര്഼ ദ്വിസ്താവതീം ഭൂമിം കരോതി" എന്നു് ആപസ്തംബനും ബൌധായനനും പറയുന്നു. ബൌധായനന്഼ ആകട്ടെ താഴെ~ പ്പറയും പ്രകാരമാണു് പറഞ്ഞിട്ടുളളതു്.

ഒരേ യാഗം തന്നെ പല തവണ ആവര്഼ത്തിച്ചു് അനുഷ്ഠിക്കുന്ന പതിവുണ്ടാ~ യിരുന്നു. അങ്ങനെ ഓരോ തവണ ആവര്഼ത്തിക്കുന്പോഴും വേദിയുടെ ആകൃതി മാററാതെ വലിപ്പം കൂട്ടിക്കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ടായിരുന്നു. പലപ്പോഴും ക്ഷേത്ര ഫലം മാററാതെ തന്നെ ആകൃതി മാറേറണ്ടിയുമിരുന്നു. വിഭിന്ന അനുപാത~ ങ്ങളിലുളള ക്ഷേത്രഫലങ്ങളോടു കൂടിയ ഒരേ തരം ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്഼ #നിര്഼മി~ ക്കുന്ന പ്രശ്നം ഇവിടെ ആവിര്഼ഭവിക്കുന്നു. അതുപോലെതന്നെ ഒരേ ക്ഷേത്ര ഫലമുളള വിഭിന്ന ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങള്഼ എങ്ങനെ നിര്഼മിക്കണം എന്ന പ്രശ്നവും ഇതില്഼ അന്തര്഼ഭവിച്ചിരിക്കുന്നു.

പലവിധ വേദികള്഼ തമ്മിലും ചിലി പരസ്പരബന്ധങ്ങളെല്ലാം വേണമെന്നു് നിയമമുണ്ടായിരുന്നു. സൌമീകീവേദിയുടെ മൂന്നിലൊന്നു ക്ഷേത്രഫലമായിരി~ ക്കണം സൌത്രാമണീവേദിക്കു്. അശ്വമേധത്തിന്഼റെ വേദിക്കു് മഹാവേദി~ യുടെ ഇരട്ടി ക്ഷേത്രഫലമുണ്ടായിരിക്കണം. ഇങ്ങനെയെല്ലാം മുന്഼ഖണ്ഡികയില്഼ പ്രതിപാദിച്ച ഗണിതപ്രശ്നങ്ങള്഼ ഉയര്഼ന്നുവരുന്നു. അവര്഼ക്കു നേരിടേണ്ടിവന്ന ചില പ്രശ്നങ്ങള്഼ താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

1. ഒരു സമചതുരത്തിന്഼റെ n മടങ്ങു ക്ഷേത്രഫലമുളള മറെറാരു സമചതുരം നിര്഼മിക്കുക.

2. രണ്ടു സമചതുരങ്ങളുടെ ക്ഷേത്രഫലങ്ങളുടെ തുകയ്ക്കും അന്തരത്തിനും തുല്യ~ മായ ക്ഷേത്രഫലങ്ങളുളള ഓരോ സമചതുരം നിര്഼മ്മിക്കുക.

3. ദീര്഼ഘചതുരത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിനു തുല്യമായ ക്ഷേത്രഫലമുളള സമചതുരം നിര്഼മിക്കുക.

4. ഒരു നേര്഼വരയുടെ (ലംബ) സമഭാജി വരയ്ക്കുക.

5. ട്രപ്പീസിയം നിര്഼മിക്കുക.

6. സമചതുരം നിര്഼മിക്കുക.

7. ദീര്഼ഘചതുരം നിര്഼മിക്കുക.

-33-

8. ത്രികോണം (സമദ്വിഭുജത്രികോണം) നിര്഼മിക്കുക.

9. സമചതുരത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിനു തുല്യമായ ക്ഷേത്രഫലമുളള വൃത്തം വരയ്ക്കുക. സമചതുരത്തെ വൃത്തമാക്കുക എന്നും സമചതുരത്തെ വൃത്തവത്~ കരിക്കുക എന്നും മററുമാണു് ഇതിനുളള ഗണിതഭാഷ.

a സമചതുരത്തിന്഼റെ ഭുജവും r നിര്഼മിക്കേണ്ട വൃത്തത്തിന്഼റെ വ്യാസാര്഼~ ധവുമാണെങ്കില്഼,

10. വൃത്തത്തെ സമചതുരമാക്കുക.

ഗ്രീക്കുകാരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പ്രശ്നമായിരുന്നു ഇതു്. അവര്഼ ഈ പ്രശ്നം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന~ തിനു മുന്഼പു തന്നെ ഭാരതീയര്഼ ഇക്കാര്യം നടത്തിയിരുന്നു എന്നതിനു് ശുല്഼വസൂത്രങ്ങള്഼ സാക്ഷ്യം വഹിക്കുന്നു. സമചതുരത്തിന്഼റെ ഭുജം a എന്നും വൃത്തത്തിന്഼റെ വ്യാസം d എന്നും സങ്കല്പിക്കുക.

11. ദീര്഼ഘചതുരം സമചതുരമാക്കുക.

12. ഒരു നിര്഼ദിഷ്ട സംഖ്യ സമാന്തരഭുജങ്ങളില്഼ ചെറിയ ഭുജത്തിന്഼റെ നീളം ആയിട്ടുളളതും, സമചതുരത്തിന്഼റെ (ദീര്഼ഘചതുരത്തിന്഼റെ) ക്ഷേത്രഫല~ മുളളതുമായ ട്രപ്പീസിയം നിര്഼മിക്കുക.

13. ട്രപ്പീസിയം ദീര്഼ഘചതുരമാക്കുക.

14. സമദ്വിഭുജത്രികോണം സമചതുരമാക്കുക.

15. സമചതുരം സമദ്വിഭുജത്രികോണമാക്കുക.

16. നിര്഼ദിഷ്ടക്ഷേത്രഫലത്തോടു കൂടിയ സമചതുര്഼ഭുജം വരയ്ക്കുക.

-34-

മുന്഼പറഞ്ഞ 16 വിധ നിര്഼മിതികള്഼ക്കും ആധാരമായി #അന്തര്഼ഭവിച്ചിട്ടുളള ജ്യാമിതീയ തത്വങ്ങള്഼ അവര്഼ നല്ലവണ്ണം മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നു. അല്ലെങ്കില്഼ ഈ നിര്഼മിതികള്഼ അസാധ്യങ്ങള്഼ ആയിത്തീരുമായിരുന്നു. ഇത്തരം ഗണിത തത്വങ്ങള്഼ താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

1. ഒരു നിര്഼ദിഷ്ടബിന്ദുവില്഼ നിന്ന് ക്ലിപ്തഅകലം പാലിക്കുന്ന ബിന്ദുക്ക~ ളുടെ പഥമാണു് വൃത്തം.

2. നേര്഼വരയുടെ രണ്ടററത്തുനിന്നും ഒരേ അകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ പഥമാണു് അതിന്഼റെ ലംബസമഭാജി.

3. സമദ്വിഭുജത്രികോണത്തിന്഼റെ ശീര്഼ഷവും പാദത്തിന്഼റെ മധ്യബിന്ദുവും തമ്മില്഼ യോജിപ്പിക്കുന്ന രേഖ പാദത്തിനു ലംബമായിരിക്കും.

4. വൃത്തത്തിന്഼റെ വ്യാസാര്഼ധവും സ്പര്഼ശരേഖയും ലംബങ്ങളായിരിക്കും.

5. സമചതുരത്തിന്഼റെ (ദീര്഼ഘചതുരത്തിന്഼റെയും) വികര്഼ണം അതിനെ രണ്ടു സമഭാഗങ്ങളായി ഭാഗിക്കുന്നു.

6. ദീര്഼ഘ ചതുരത്തിന്഼റെ വികര്഼ണങ്ങള്഼ പരസ്പരം സമഭാജികള്഼ ആണു്. ഇവ ദീര്഼ഘ ചതുരത്തെ 4 ത്രികോണങ്ങള്഼ ആക്കുന്നു. ഈ ത്രികോണങ്ങ~ ളില്഼ നേര്഼ വിപരീതജോടികള്഼ സര്഼വസമങ്ങളാണു്.

7. സമചതുര്഼ഭുജത്തിന്഼റെ വികര്഼ണങ്ങള്഼ പരസ്പരം ലംബങ്ങളാണു്;സമ~ ഭാജികളുമാണു്.

8. സമചതുരത്തിന്഼റെ ഭുജങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളെ തമ്മില്഼ യോജിപ്പി~ ച്ചാല്഼ മറെറാരു സമചതുരം ലഭിക്കും. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന സമചതുര~ ത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലം ആദ്യസമചതുരത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിന്഼റെ പകുതി ആയിരിക്കും.

9. ഒരു സമദ്വിഭുജത്രികോണത്തിന്഼റെ പാദവും ഉന്നതിയും ഭുജങ്ങളായി വരയ്ക്കുന്ന ദീര്഼ഘചതുരത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിന്഼റെ പകുതി ആയി~ രിക്കും ആ ത്രികോണത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലം.

10. സമരൂപജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ഭുജങ്ങള്഼ ആനുപാതികങ്ങളാണു്.

11. രണ്ടു സമരൂപജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ ക്ഷേത്രഫലങ്ങള്഼ തമ്മിലുളള അനുപാതം, അവയുടെ സമാന ഭുജങ്ങളുടെ വര്഼ഗങ്ങള്഼ തമ്മിലുളള അനുപാതത്തിനു തുല്യമാണു്.

-35-

12. സമദ്വിഭുജട്രപീസിയത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലം = സമാന്തരഭുജങ്ങളുടെ തുകയുടെ പകുതി X അവ തമ്മിലുളള അകലം.

13. സമദ്വിഭുജത്രികോണത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലം= അതിന്഼റെ പാദവും ഉന്നതിയും ഭുജങ്ങളായുളള ദീര്഼ഘചതുരത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിന്഼റെ പകുതി. അന്യഥാ പറഞ്ഞാല്഼, സമദ്വിഭുജത്രികോണത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലം = പാദാര്഼ഥം X ഉന്നതി.

14. സമചതുര്഼ഭുജത്തിന്഼റെ ക്ഷേത്രഫലം= വികിര്഼ണങ്ങളുടെ ഗുണനഫല~ ത്തിന്഼റെ പകുതി.

15. പ്രിസത്തിന്഼റെയും സിലിണ്ടറിന്഼റെയും വ്യാപ്഼തം= പാദക്ഷേത്ര ഫലം X ഉയരം.

ഭിന്നിതം

ഭിന്നസംഖ്യാബോധവും അവര്഼ക്കുണ്ടായിരുന്നു. 1 1/2, 2 1/4 തുടങ്ങിയ #ദൈര്഼~ ഘ്യങ്ങളോടു കൂടിയ ഭുജങ്ങളുളള ത്രികോണങ്ങളെപ്പററി പരാമര്഼ശങ്ങളുണ്ടു്. 3/8 നും ത്രി അഷ്ടമം എന്നും 2/7 നു് ദ്വിസപ്തമം എന്നും 3/4 നു് #ചതുര്഼ഭാഗോന എന്നും ആണു് അവരുടെ സംജ്ഞകള്഼. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വര്഼ഗമൂലങ്ങളെ~ ക്കുറിച്ചും പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്.

യാഗാവേദികളുടെ നിര്഼മാണത്തോട് അനുബന്ധിച്ചു് അവര്഼ അവ്യവസ്ഥിത സമവാക്യങ്ങളും യുഗപത് സമവാക്യങ്ങളും നിര്഼ധരിക്കുന്നുണ്ടു്. ഗാര്഼ഹപത്യാ~ ഗ്നീവേദിക്കു് ഒരു ചതുരശ്രവ്യാമം ക്ഷേത്രഫലം വേണം. തന്നെയുമല്ല 21 ഇഷ്ടികകള്഼ വീതം 5 നിരയായി കെട്ടുകയും വേണം. രണ്ടുതരം ഇഷ്ടികകള്഼ ഉപയോഗിച്ചു് ഈ വേദി എങ്ങനെ കെട്ടി ഉയര്഼ത്താം? ഇഷ്ടികകള്഼ സമ~ ചതുരമോ ദീര്഼ഘചതുരമോ ആകാം. (കൃത്യമായിപ്പറഞ്ഞാല്഼ സമചതുര ഘനമോ ദീര്഼ഘചതുരഘനമോ ആകാം). ഇഷ്ടികകള്഼ കെട്ടുന്പോള്഼ അടുത്തടുത്ത രണ്ടു നിരകളില്഼, രണ്ടു് ഇഷ്ടികകള്഼ ചേരുന്ന വിടവുകള്഼ സന്നിപതിക്കാത്ത വിധം വേണമല്ലോ കെട്ടാന്഼. ഒരു നിരയില്഼ 1/m വ്യാമം നീളമുളള സമ

-36-

ചതുരയിഷ്ടികകളും 1/n വ്യാമം നീളമുളള y സമചതുരയിഷ്ടികകളും വേണ~ മെന്നു സങ്കല്പിക്കുക. അപ്പോള്഼

ഇതാണു് ബൌധായനശുല്഼വസൂത്രത്തിലെ നിര്഼ധാരണം. 1/6, 1/4 വീതം നീളമുളള രണ്ടിനം സമചതുരയിഷ്ടികകള്഼ ഉപയോഗിച്ചാല്഼, ഒന്നാം നിരയില്഼ യഥാക്രമം 9.12 ഇഷ്ടികകള്഼ വേണം. അതിനു മുകളില്഼ 1/6, 1/3 വീതം നീളമുളള സമചതുരയിഷ്ടികകള്഼ യഥാക്രമം 16,5 എനന കണക്കിനു വേണം. അതിനു മുകളിലത്തെ നിരയിലും 5-ാം നിരയിലും ഒന്നാം നിരയിലെപ്പോലെ നാല഼ാം നിരയില്഼ രണ്ടാം നിരിയലെപ്പോലെയും.

ഗരുഡചയനവേദിക്കു് 7 1/2 ചതുരശ്രപുരുഷം ക്ഷേത്രഫലം വേണം. ഓരോ വരിയിലും 200 ഇഷ്ടികകള്഼ വീതം 5 നിര ഉണ്ടായിരിക്കണം.

1/m, 1/n, 1/p, 1/q എന്നീ ക്ഷേത്രഫലങ്ങളുളള 4 ഇനം ഇഷ്ടികകള്഼ യഥാ~ ക്രമം ,y,z,w എന്നിത്രയും എണ്ണം വീതം ഉപയോഗിച്ചാണു് വേദിയുടെ നിര്഼മാണം എന്നിരിക്കട്ടെ.

-37-

ആപസ്തംബകാരന്഼ 5 ഇനം ഇഷ്ടികകള്഼ ഉപയോഗിച്ചാണു് ഗരുഡചയന വേദി ഒരുക്കിയതു്.

ഇതിനു് നിരവധി നിര്഼ധാരണങ്ങള്഼ ഉണ്ടു്.

ഇതുപോലുളള പലതരം യാഗവേദീനിര്഼മാണപ്രശ്നങ്ങള്഼ അവര്഼ പരി~ ഗണിച്ചിരുന്നു.

ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്഼, ജ്യാമിതിയില്഼ നിഷ്ണാതരായ ശുല്഼വകാരന്മാര്഼ ചുരുക്കം ചില ബീജഗണിതപ്രശ്നങ്ങളും കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുണ്ടു്. കരണി~ കളെക്കുറിച്ചുളള പ്രതിപാദനവും യുഗപ്ത്സമീകരണങ്ങളുടെ നിര്഼ധാരണവും ആണു് അവയില്഼ പ്രധാനം.

-38-

5

ജൈനഗണിതം

ജൈനരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഗണിതം അവരുടെ മതത്തിന്഼റെ അവിഭാജ്യഘടകമാണു്. മറെറാരു മതത്തിനും ഈ അവകാശവാദം ഉന്നയി~ ക്കാന്഼ കഴിയുകയില്ല. ജൈനമതസാഹിത്യത്തില്഼ നാല് അനുയോഗങ്ങ~ ളുണ്ടു്. അനുയോഗങ്ങള്഼ മതസാഹിത്യത്തിന്഼റെ ഉപാംഗങ്ങളാണു്. ഈ അനുയോഗങ്ങളില്഼ ഒന്നു് "ഗണിതാനുയോഗം" അത്രേ. പ്രസിദ്ധ ജൈനഗണി~ തജ്ഞനായ മഹാവീരന്഼ തന്഼റെ കൃതിയില്഼ വര്഼ധമാനമഹാവീരനെ വണങ്ങു~ ന്നതു് തന്നെ "സംഖ്യാജ്ഞാനപ്രദീപം" എന്ന വിശേഷണത്തോടെയാണു്.

ബി.സി. അഞ്ചാംശതകത്തിലെ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രകൃതികളായ "സൂര്യ~ പ്രജ്ഞാപ്തി'യും "ചന്ദ്രപ്രജ്ഞാപ്തി"യും ഗണിതത്തെപ്പററി ധാരാളം വിവരങ്ങള്഼ നല്഼കുന്നുണ്ടു്. മതഗ്രന്ഥങ്ങളായ "ഭഗവതീസൂത്രം" (ബി.സി. ഒന്നാം ശതകം) "ഉത്തരാധ്യായനസൂത്രം" (ഏ.ഡി.ഒന്നാംശതകം), "അനു~ യോഗദ്വാരസൂത്രം" (ഏ.ഡി.ഒന്നാംശതകം) "സ്ഥാനാംഗസൂത്രം" (ബി.സി. മൂന്നാംശതകം) എന്നിവയില്഼ ഗണിതത്തെ സംബന്ധിച്ച ഒട്ടനവധി സൂചന~ കള്഼ കാണാം.

മഗധാ (ബീഹാര്഼)സ്വദേശിയായ ഭദ്രബാഹു (ബി.സി.മൂന്നാംശതകം) അസാമന്യനായ ഒരു പണ്ഡിതന്഼ ആയിരുന്നു. മതഗ്രന്ഥങ്ങള്഼ മുഴുവന്഼ അദ്ദേ~ ഹത്തിനു മനഃപാഠമായിരുന്നു. ഈ അസാധാരണവൈഭവം അദ്ദേഹത്തിനു് "ശ്രുതകോവിലകന്഼" എന്ന ബഹുമതി നേടിക്കൊടുത്തു. പിന്നീടു് അദ്ദേഹം മൈസൂരിലെ ശ്രവണബലഗോളയില്഼ താമസമുറപ്പിച്ചു. സൂര്യപ്രജ്ഞാപ്തിക്കു് അദ്ദേഹം വിരചിച്ച ഭാഷ്യം മഹത്തരമത്രേ. എന്നാല്഼ "ഭദ്രബാഹവീസം ഹിത" എന്ന ഗണിതകൃതി അദ്ദേഹത്തിന്഼റേതാണെന്നു് അവിതര്഼ക്കിതമായി പറയാന്഼ കഴിയുകയില്ല.

-39-

കുസുമപുരവാസിയായ (പാടലീപുത്രത്തിനു് സമീപം) ഉമാസ്വാതി ജൈന~ രുടെ അധ്യാത്മതത്വശാസ്ത്രവിദഗ്ദ്ധനാണ്. ഗണിതകാരന്഼ എന്നു പറയാന്഼ വയ്യെങ്കില്഼ കൂടി അദ്ദേഹത്തിന്഼റെ കൃതികളില്഼ ഉടനീളം ഗണിതപ്രയോഗങ്ങ~ ളുണ്ടു്. ഗണിത സംബന്ധിയായ നിരവധി പരാമര്഼ശങ്ങള്഼ അദ്ദേഹത്തിന്഼റെ "തത്ത്വാര്഼ഥാധിഗമസൂത്രഭാഷ്യ"ത്തിലുണ്ടു്. "ജംബൂദ്വീപസമാസം" ഇദ്ദേ~ ഹത്തിന്഼റെ മറെറാരു കൃതിയാണു്. ന്യഗ്രോധിക എന്ന സ്ഥലത്തു് ഉമയു~ ടെയും സ്വാതിയുടെയും പുത്രനായി ജനിച്ചു. അതിനാലാണു് ഉമാസ്വാതി എന്ന പേരു് കിട്ടിയതു്. ഏ.ഡി.ഒന്നാംശതകമാണു് ജീവിതകാലം എന്നു വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ബി.സി.രണ്ടാംശതകമ഼ാണെന്നും, അതല്ല ബ഼ി.സി.~ ഒന്നാം ശതകമാണെന്നും പക്ഷങ്ങളുണ്ടു്.

മഹാവീരന്഼, ശ്രീധരന്഼, ശ്രീപതി തുടങ്ങിയ ഗണിതജ്ഞന്മാരെപ്പററി പിന്നീടു് പറയുന്നുണ്ടു്. സിദ്ധാസേനന്഼, പൃഥൂദകസ്വാമി, ജീനഭദ്രഗണി (ഏ.ഡി.ആറാംശതകം), ഹലായുധന്഼ (ഏ.ഡി.പത്താംശതകം) തുടങ്ങിയ~ വരാണു് ഈ ശാഖയിലെ പ്രഗത്ഭരായ മററു ഗണിതജ്ഞര്഼.

ജൈനഗണിതത്തില്഼ പരികര്഼മം, വ്യവഹാരം, രജ്ജു, രാശി, കലാ~ സവര്഼ണം, യാവത്്താവത്, വര്഼ഗം, ഘനം, വര്഼ഗവര്഼ഗം, വികല്പം എന്നിവയാണു് ഉളളത്. ഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാനക്രിയകളായ സങ്ക~ ലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം തുടങ്ങിയവ "പരികര്഼മത്തില്഼" വിശ~ ദീകരിക്കുന്നു. അങ്കഗണിതത്തിന്഼റെ പ്രയോഗങ്ങളാണു് "വ്യവഹാര"ത്തില്഼. ജ്യാമിതിയാണു് "രജ്ജു", "രാശി" മെന്഼സുറേഷനും. ഭിന്നസംഖ്യകളെ~ ക്കുറിച്ചാണു് "കലാസവര്഼ണം". ബീജഗണിതത്തിനു് അഥ഼വ഼ാ സരളസമ഼~ വാക്യങ്ങള്഼ക്ക് "യാവത്്താവത്" എന്നു പറഞ്ഞു. വര്഼ഗവും വര്഼ഗമൂലവും ദ്വിഘാതസമവാക്യങ്ങളും "വര്഼ഗ"ത്തിലും, ഘനവും ഘനമൂലവും ത്രിഘാത സമവാക്യങ്ങളും "ഘന"ത്തിലും, ഉയര്഼ന്ന ഘാതങ്ങളും മൂലങ്ങളും സമ~ വാക്യങ്ങളും "വര്഼ഗവര്഼ഗ"ത്തിലും കാണാം. ക്രമചയവും സഞ്ചയവും ആണു് "വികല്പ"ത്തില്഼.

194 സ്ഥാനംവരെയുളള സംഖ്യകള്഼ അവര്഼ക്കു് പരിചിതങ്ങളായിരുന്നു. ജംബുദ്വീപപ്രജ്ഞാപ്തി (18-ാം സൂത്രം), അനുയോഗദ്വാരസൂത്രം (സൂത്രം 137), സൂര്യപ്രജ്ഞാപ്തി, ജീവസമാസം എന്നീ കൃതികളില്഼ താഴെപ്പറയുന്ന സംഖ്യ~ കള്഼ കാണാം. ഇവ കാലവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യകളാണു്. ഇവയില്഼ ഓരോന്നും തൊട്ടുമുന്പുളളതിന്഼റെ 84 ലക്ഷം മടങ്ങു വീതമാണു്. ആദ്യം കാണുന്ന പൂര്഼വാംഗം 9000000 എന്ന സംഖ്യയെ കുറിക്കുന്നു. അടുത്ത സംഖ്യ~ യായ പൂര്഼വം= 9000000 X 84 ലക്ഷം= 756 000 000 000 00. പൂര്഼വാംഗം, പൂര്഼വം, തൃടിതാംഗം, തൃടിതം, അഡഡാംഗം, അഡഡം, അവവാംഗം, അവവം,

-40-

ഹുഹുകാംഗം, ഹുഹുകം, ഉത്പലാംഗം, ഉത്പലം, പദ്മാംഗം, പദ്മം, നളിനാംഗം, നളിനം, അര്഼ഥനിപുരാംഗം, അര്഼ഥനിപുരം, അയുതാംഗം, അയുതം, നയുതാംഗം, നയുതം, പ്രയുതാംഗം, പ്രയുതം, ചൂലികാംഗം, ചൂലികം, ശീര്഼ഷപ്രഹേളികാംഗം, ശീര്഼ഷപ്രഹേളിക, ശീര്഼ഷപ്രഹേളിക കുറിക്കുന്ന സംഖ്യയില്഼ 194 സ്ഥാനങ്ങള്഼ ഉണ്ട് എന്ന കാര്യം #ശ്രദ്ധേയമാണു്.

ജനസംഖ്യ

അനുയോഗദ്വാരസൂത്രത്തില്഼ ലോകത്തിലെ ജനസംഖ്യ എത്രയെന്നു പറയു~ ന്നുണ്ടു്.

ഗണനസംഖ്യകളെ ജൈനര്഼ "സംഖ്യേയം" (എണ്ണാവുന്നവ) "അസംഖ്യേ~ യം" (എണ്ണാന്഼ കഴിയാത്തവ), അനന്തം എന്നിങ്ങനെ മൂന്നായി തരംതിരിച്ചു. ഇവയില്഼ ഓരോന്നിനെയും വീണ്ടും മുമ്മൂന്നായി തരംതിരിച്ചു. സംഖ്യേ~ യത്തെ ജഘന്യം (ഏററവും ചെറുതു്), മധ്യമം, ഉത്കൃഷ്ടം (ഏററവും വലുതു്) എന്നും അസംഖ്യേയത്തെ പരിത്തം (മിക്കവാറും എണ്ണാന്഼ കഴിയാത്തവ), യുക്തം (ശരിക്കും എണ്ണാന്഼ കഴിയാത്തവ), അസംഖ്യാതം (എണ്ണാന്഼ കഴിയാത്തവ~ യിലും എണ്ണാന്഼ കഴിയാത്തവ) എന്നും അനന്തത്തെ പരിത്തം (മിക്കവാറും അനന്തം), യുക്തം (വാസ്തവത്തില്഼ അനന്തം), അനന്തം (അനന്തമായും അനന്തം) എന്നും ആണു് വിഭജിച്ചിട്ടുളളതു്.

എണ്ണാവുന്ന വലിയ സംഖ്യകളില്഼ അവര്഼ എത്തിയതു് എങ്ങനെയെന്നറി~ യണ്ടേ? ജംബൂദ്വീപത്തിനോളം വലിപ്പമുളള ഒരു തടത്തില്഼ വെളളക്കടുകിന്഼ മണികള്഼ ഒന്നൊന്നായി എണ്ണിയിടാന്഼ പറയുന്നു. (ജൈനരുടെ പ്രപഞ്ച വിജ്ഞാനപ്രകാരം സ്ഥലങ്ങള്഼ ട്രപ്പീസിയരൂപത്തിലുളള ഭൂമിയില്഼ വൃത്താകാ~ രത്തിലാണു്.) ജംബൂദ്വീപത്തിന്഼റെ വലിപ്പം ലക്ഷം യോജന വ്യാസം ഉളള വൃത്തം ആണു്. തുടര്഼ന്നു് അവരുടെ പ്രപഞ്ചഘടനവിജ്ഞാനം അനുസരിച്ചുളള ഓരോരോ ദ്വീപുകളോളവും ഓരോരോ സമുദ്രങ്ങളോളവും ഉളള തടങ്ങളില്഼ വെളളക്കടുകിന്഼ മണികള്഼ എണ്ണി നിറയ്ക്കണം. ഈ സംഖ്യകളെല്ലാം കൂടി കൂട്ടിയാലും ഏററവും വലിയ സംഖ്യേയസംഖ്യ ആകുന്നില്ല എന്നു് അനുയോഗ~ ദ്വാരസൂത്രത്തില്഼ പറയുന്നു. ഇങ്ങനെയൊക്കെ കിട്ടാവുന്ന ഏററവും വലിയ എണ്ണാവുന്ന സംഖ്യ N ആണെന്നു കരുതുക. ഉയര്഼ന്ന ഇനങ്ങളെ താഴെ~ പ്പറയും പ്രകാരം കുറിക്കാം. 2 മുതല്഼ തുടര്഼ന്നുളള സംഖ്യകള്഼ തുടര്഼ച്ചയായി എഴുതുക.

-41-

ഇങ്ങനെ അവരുടെ ഏററവും വലിയ എണ്ണാവുന്ന സംഖ്യ ആധുനിക ഗണിത പ്രകാരമുളള "ആലഫ് നോട്ട്" എന്നതിനെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു.

ഇവിടെയും ഒരു പ്രത്യേകത കാണാം. 1 എന്ന സംഖ്യ ഒരു എണ്ണമായി അവര്഼ പരിഗണിച്ചിരുന്നില്ല. "ഏകോ ഗണനസംഖ്യാ ന ഉപേതി" എന്നു പ്രമാണം. 2 മുതലായിരുന്നു അവരുടെ എണ്ണം ആരംഭിച്ചതു്. എന്നാല്഼ 2 എന്നതു് 1 എന്നതിനുപകരം ആയിട്ടല്ലതാനും.

അഞ്ച് അനന്തം

കൂടാതെ, അനന്തം തന്നെ അഞ്ചുവിധമുണ്ട് എന്നാണു് ജൈനരുടെ പക്ഷം. ഒരേ ദിശയിലുളള അനന്തമായ "ഏകതോ അനന്തം", രണ്ടു ദിശയിലേക്കു~ മുളള "ദ്വിധാനന്തം", ക്ഷേത്രഫലത്തിലുളള അനന്തമായ "ദേശവിസ്താരാനന്തം" എല്ലായിടത്തിലേക്കും അനന്തമായ "സര്഼വവിസ്താരാനന്തം" , ശാശ്വതമായ അനന്തമായ "ശാശ്വതാനന്തം". ഇങ്ങനെ അനന്തത്തെ അവര്഼ മാനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി.

ഘാതാങ്കനിയമങ്ങളെക്കുറിച്ചു് അവര്഼ക്കു് വ്യക്തമായ ധാരണ ഉണ്ടായി~ രുന്നു. എന്നാല്഼ അവര്഼ നിയമങ്ങള്഼ പൂര്഼ണമായി ഉള്഼ക്കൊണ്ടിരുന്നു #എന്നു ധരിക്കേണ്ടതില്ല. ധനപൂര്഼ണസംഖ്യാഘാത഼ാങ്കങ്ങളും ഭിന്ന സംഖ്യാഘാതാങ്ക~ ങ്ങളും അവര്഼ പരിഗണിച്ചു. രണ്ടാം ഘാതത്തെ വര്഼ഗം എന്നും, മൂന്നാംഘാ~ തത്തെ ഘനം എന്നും, നാലാംഘാതത്തെ വര്഼ഗവര്഼ഗം എന്നും, ആറാംഘാ~ തത്തെ ഘനര്഼ഗം എന്നും 12-ാം ഘാതത്തെ ഘനവര്഼ഗവര്഼ഗം എന്നും ഉത്ത~ രാധ്യായനസൂത്രകാരന്഼ വിളിച്ചു.

-42-

ക്രമചയം സഞ്ചയം

ജൈനകാലത്തിനു മുന്പും ക്രമചയത്തെക്കുറിച്ചും സഞ്ചയത്തെക്കുറിച്ചും പലപരാമര്഼ശങ്ങളുമുണ്ടു്. വേദങ്ങളിലും സ഼ുശ്രുതന്഼റെ വൈദ്യകൃതിയിലും മററും ക്രമചയസഞ്ചയങ്ങളുണ്ടു്. എന്നാല്഼ ക്രമചയസഞ്ചയങ്ങളെ ആദ്യ~ മായി ഗണിതത്തിന്഼റെ ഭാഗമാക്കി ചര്഼ച്ച ചെയ്തതു് ജൈനരാണു്. ഭഗവതീസൂത്രം, ജംബൂദ്വീപപ്രജ്ഞാപ്തി തുടങ്ങിയവയില്഼, n വിഭവ~ ങ്ങളില്഼ നിന്നു് ഒരു സമയം ഒരു വിഭവംവീതം (ഏകസംയോഗം), ഒരു സമയം രണ്ടുവീതം (ദ്വൈകസംയോഗം), ഒരു സമയം മൂന്നു വീതം (ത്രൈക സംയോഗം) എന്നിങ്ങനെയുളള സഞ്ചയങ്ങളുടെ എണ്ണം പറയുന്നുണ്ടു്.സ്ത്രീകള്഼, പുരുഷ഼ന്മാര്഼, നുപംസകങ്ങള്഼ എന്നിവരുള്഼പ്പെട്ട ഏതാനും പേരുടെ #കൂട്ടത്തില്഼ നിന്നുളള വിവിധ സഞ്ചയങ്ങള്഼ ശരിയായി നല്഼കിയിരിക്കുന്നു. അതു പോലെ ഇന്ദ്രിയങ്ങളില്഼ നിന്നുണ്ടാകുന്ന ക്രമചയസഞ്ചങ്ങളും കൊടുത്തി~ ട്ടുണ്ടു്. ആറു വസ്തുക്കളുടെ ക്രമചയങ്ങളുടെ എണ്ണം 1 X 2 X 3 X4 X 5 X6 എന്നു് അനുയോഗദ്വാരസൂത്രത്തില്഼ കാണാം. സുപ്രസിദ്ധ ജൈനവ്യാഖ്യാ~ താവായ ശിലാങ്കന്഼ (ഏ.ഡി.9-ാം ശതകം) താഴെപ്പറയുന്ന വിവരണങ്ങള്഼ നല്഼കുന്നു. n സാധാനങ്ങളില്഼ നിന്നു് ഒരേ സമയം n സാധനങ്ങളും എടുത്തുളഴക്രമചയങ്ങളുടെ എണ്ണം= 1 X 2X 3X..Xn= n1. മുന്഼ക്രമചയങ്ങ~ ളില്഼ ഒരു പ്രത്യേക വസ്തു ( ar എന്നിരിക്കട്ടെ) ആദ്യസ്ഥാനത്തു തന്നെ #വരണം എന്നു് നിബന്ധനവന്നാലുളള ക്രമചയങ്ങളുടെ എണ്ണം പിംഗളന്഼റെ ഛന്ദസ്സൂത്രത്തില്഼ (ബി.സി.മൂന്നാംശതകം) n സിലബിളുക~ ളില്഼ നിന്നു് 1,2,3....എന്നിങ്ങനെ സിലബിളുകള്഼ വീതം എടുത്തുണ്ടാ~ ക്കാവുന്ന സഞ്ചയങ്ങളുടെ (ച്ഛന്ദോഭേദങ്ങളുടെ) എണ്ണത്തെപ്പററി #പറയുന്നുണ്ടു്. ഇതിനു് അദ്ദേഹം നല്഼കുന്ന നിയമം മനസ്സിലാക്കാന്഼ പ്രയാസമാണു്. എന്നാല്഼ ഹലായുധന്഼ (ഏ.ഡി.10-ാം ശതകം) എന്ന വ്യാഖ്യാതാവ് താഴെപ്പറയും പ്രകാരം ഈ നിയമം വിശദീകരിക്കുന്നു.

"മുകളില്഼ ഒരു സമചതുരം, അതിന്഼റെ കീഴെ പാര്഼ശ്വേനപാര്഼ശ്വമായി ഓരോന്നിന്഼റെയും പകുതി ഭാഗം വീതം വശങ്ങളിലേക്കു തളളിക്കടക്കുമാറ് രണ്ടു് സമചതുരം, അതിനും താഴെ ഇതേ വിധം മൂന്നു സമചതുരം, അതിനു താഴെ നാലു സമചതുരം...ഏററവും മുകളിലത്തെ സമചതുരത്തില്഼ 1 എഴു~ തുക. രണ്ടാംവരി സമചതുരങ്ങള്഼ രണ്ടിലും 1 എന്നു എഴുതുക. മൂന്നാംവരി

-43-

സമചതുരങ്ങളില്഼, ആദ്യാവസാനചതുരങ്ങളില്഼ 1 എഴുതുക. നടുക്കുളളതില്഼, അതിനു നേരേ മുകളില്഼ തൊട്ടടുത്തുളള സമചതുരങ്ങളിലുളള സംഖ്യകളുടെ തുക എഴുതുക. നാലാംവരിയില്഼, അററത്തുളള രണ്ടു സമചതുരത്തിലും 1 എഴുതണം. മധ്യത്തിലുളള രണ്ടു സ്ഥാനങ്ങളില്഼ ഓരോന്നിലും തൊട്ടുമുകളില്഼ അടുത്തുളള രണ്ടു സമചതുരങ്ങളിലുളള സംഖ്യകളുടെ തുക എഴുതണം. പിന്നീടുളള ചതുര~ ങ്ങളും ഈ ക്രമത്തില്഼. രണ്ടാമത്തെ വരി ഒരു സിലബിളിന്഼റെ സ഼ഞ്ചയ~ ങ്ങളുടെ വികസനം തരുന്നു; മൂന്നാമത്തെ വരി രണ്ടു സിലബിളിന്഼റെ; നാലാ~ മത്തെ വരി മൂന്നു സിലബിളിന്഼റെ; എന്നിങ്ങനെ."

-44-

ജ്യാമിതിക്കു് അവര്഼ നല്഼കിയ പേര് രജ്ജു എന്നാണെന്നു #പറഞ്ഞുവല്ലോ. ട്രപ്പീസിയം (സമലംബം) ജൈനര്഼ക്കു് ഏററവും പ്രിയപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയരൂപം ആയിരുന്നു. പ്രപഞ്ചം തന്നെ ഈ രൂപത്തിലാണെന്നു് അവര്഼ വിശ്വസിച്ചു. അവരുടെ പ്രപഞ്ചവിജ്ഞാനീയത്തിന്഼റെ ഭാഗമായി ഏകകേന്ദ്രവൃത്തങ്ങളെ~ ക്കുറിച്ചുളള അറിവ് അവര്഼ക്കുണ്ടായിരുന്നതായി മനസ്സിലാക്കാന്഼ #കഴിയുന്നുണ്ടു്. ത്രയശ്രം (ത്രികോണം), സമചതുരശ്രം (4 തുല്യഭുജങ്ങള്഼ ഉളള ചതുര്഼ഭുജം),വിഷ~ മചതുരശ്രം (തുല്യമല്ലാത്ത 4 ഭുജങ്ങളുളളതു്), സമചതുഷ്കോണം (ദീര്഼ഘ ചതുരം), വിഷമചതുഷ്കോണം ( 4 അതുല്യകോണുകളുളള ചതുര്഼ഭുജം), സമ~ ചക്രവാളം (വ഼ൃത്തം), വിഷമചക്രവാളം (ദീര്഼ഘവൃത്തം), ചക്രാര്഼ധചക്രവാളം (അര്഼ധവ഼ൃത്തം) എന്നീ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളെപ്പററി അവര്഼ പറയുന്നുണ്ടു്.

അതുപോലെ ഘനത്രയശ്രം (ത്രികോണപിരിമിഡ്), ഘനചതുരശ്രം ഘനവൃത്തം (ഗോളം), ഘനായനം (സമകോണസമാന്തര ഷഡ്~ ഫലകം), പ്രാഗ്ഭാരം (നിവര്഼ത്തിയ കുടയുടെ രൂപം), കോണ്഼ഛിന്നകം എന്നീ ഘനരൂപങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവര്഼ക്കു് ധാരണകള്഼ ഉണ്ടായിരുന്നു.